BZOJ 2753 [SCOI2012] 滑雪和时间胶囊 最小生成树

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题目

2753: [SCOI2012]滑雪与时间胶囊
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问题描述

a180285非常喜欢滑雪。他来到一座雪山，这里分布着M条供滑行的轨道和N个轨道之间的交点（同时也是景点），而且每个景点都有一编号i（1<=i<=N）和一高度Hi。a180285能从景点i 滑到景点j 当且仅当存在一条i 和j 之间的边，且i 的高度不小于j。 与其他滑雪爱好者不同，a180285喜欢用最短的滑行路径去访问尽量多的景点。如果仅仅访问一条路径上的景点，他会觉得数量太少。于是a180285拿出了他随身携带的时间胶囊。这是一种很神奇的药物，吃下之后可以立即回到上个经过的景点（不用移动也不被认为是a180285 滑行的距离）。请注意，这种神奇的药物是可以连续食用的，即能够回到较长时间之前到过的景点（比如上上个经过的景点和上上上个经过的景点）。 现在，a180285站在1号景点望着山下的目标，心潮澎湃。他十分想知道在不考虑时间
胶囊消耗的情况下，以最短滑行距离滑到尽量多的景点的方案（即满足经过景点数最大的前提下使得滑行总距离最小）。你能帮他求出最短距离和景点数吗？

输入

输入的第一行是两个整数N，M。
接下来1行有N个整数Hi，分别表示每个景点的高度。
接下来M行，表示各个景点之间轨道分布的情况。每行3个整数，Ui，Vi，Ki。表示
编号为Ui的景点和编号为Vi的景点之间有一条长度为Ki的轨道。

输出

输出一行，表示a180285最多能到达多少个景点，以及此时最短的滑行距离总和。

样例

input
3 3
3 2 1
1 2 1
2 3 1
1 3 10

output
3 2

Hint

【数据范围】
对于30%的数据，保证 1<=N<=2000
对于100%的数据，保证 1<=N<=100000
对于所有的数据，保证 1<=M<=1000000，1<=Hi<=1000000000，1<=Ki<=1000000000。

题解

首先dfs一下，找到所有可达的点。
然后发现是个最小树形图的问题，但是朱刘算法会跑超时！
观察一下这道题的特殊性！
我们按照海拔来分类，先讨论比较高的点再讨论比较低的点，你会发现同一个海拔的点之间连得都是双向边，所以同一个海拔的点是可以用kruskal跑最小生成树的。
我们考虑两个相同海拔的连通，只能通过祖先或是同海拔的点，如果它们是通过后代来连通的话，那么它们之间必定是不连通的（有向边所导致的）所以我们对每条边先按终点的海拔降序排列，对相同的海拔按距离升序排序。然后跑kruskal最小生成树。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10;
const int maxm = 2e6 + 10;
typedef long long LL;
int n,m;

int fa[maxn], hi[maxn];
int find(int x) {
	return fa[x] = fa[x] == x ? x : find(fa[x]);
}


struct Edge {
	int u, v, w;
	Edge(int u, int v, int w) :u(u), v(v), w(w) {}
	bool operator < (const Edge& tmp) const {
		return hi[v]>hi[tmp.v] || hi[v] == hi[tmp.v] && w < tmp.w;
	}
};

vector<int> G[maxn];
vector<Edge> egs, egs2;
void addEdge(int u, int v, int w) {
	egs.push_back(Edge(u, v, w));
	G[u].push_back(egs.size() - 1);
}

int vis[maxn];
void dfs(int u) {
	for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
		Edge e = egs[G[u][i]];
		egs2.push_back(e);
		if (!vis[e.v]) {
			vis[e.v] = 1;
			dfs(e.v);
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &hi[i]);
	while (m--) {
		int u, v,w;
		scanf("%d%d%d", &u, &v,&w);
		if (hi[u] < hi[v]) swap(u, v);
		addEdge(u, v, w);
		if (hi[u] == hi[v]) addEdge(v, u, w);
	}
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	vis[1] = 1;
	dfs(1);
	sort(egs2.begin(), egs2.end());
	for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
	LL ans = 0; int cnt = 0;
	for (int i = 0; i < egs2.size(); i++) {
		Edge& e = egs2[i];
		int pu = find(e.u);
		int pv = find(e.v);
		if (pu != pv) {
			ans += e.w;
			cnt++;
			fa[pv] = pu;
		}
	}
	printf("%d %lld\n", cnt + 1, ans);
	return 0;
}