二分图带权最大匹配（二分图最优匹配）

二分图带权最大匹配（二分图最优匹配）

KM算法在稠密图上效率高于费用流。局限性：只能在满足“带权最大匹配一定是完备匹配”的途中正确求解。

若相等子图中存在完备匹配，则这个完备匹配就是二分图的带权最大匹配。

KM算法 O(n^4)

1-N 和 0 -N 全局一致； u和v一致；

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
typedef long long LL;
const int INF=0x7fffffff;
const int MAXN=550;
int N;
struct KM{
    vector<int> G[MAXN];
    int W[MAXN][MAXN];
    int Lx[MAXN],Ly[MAXN];
    int Left[MAXN];//右边的点匹配左边的哪一个
    int S[MAXN],T[MAXN];
    void init()
    {
        for(int i=1;i<=N;++i) G[i].clear();
        memset(W,0,sizeof(W));
    }
    void add(int u,int v,int w)
    {
        G[u].push_back(v);
        W[u][v]=w;
    }
    int M(int u)
    {
        S[u]=1;
        int len=G[u].size();
        for(int i=0;i<len;++i){
            int v=G[u][i];
            if(Lx[u]+Ly[v]==W[u][v]&&!T[v]){
                T[v]=1;
                if(Left[v]==-1||M(Left[v])){
                    Left[v]=u;
                    return 1;
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    void update()
    {
        int a=INF;
        for(int u=1;u<=N;++u){
            if(S[u]){
                int len=G[u].size();
                for(int i=0;i<len;++i){
                    int v=G[u][i];
                    if(!T[v]) a=min(a,Lx[u]+Ly[v]-W[u][v]);
                }
            }
        }
        for(int i=1;i<=N;++i){
            if(S[i]) Lx[i]-=a;
            if(T[i]) Ly[i]+=a;
        }
    }
    void solve()
    {
        for(int i=1;i<=N;++i){
            Lx[i]=*max_element(W[i]+1,W[i]+N+1);
            Left[i]=-1;
            Ly[i]=0;
        }
        for(int u=1;u<=N;++u){
            for(;;){
                for(int i=1;i<=N;++i) S[i]=T[i]=0;
                if(M(u)) break;
                else{
                    update();
                }
            }
        }
    }
}kme;
int pri[MAXN][MAXN];
int main()
{
    while(~scanf("%d",&N)){
        kme.init();
        for(int i=1;i<=N;++i){
            for(int j=1;j<=N;++j){
                scanf("%d",&pri[i][j]);
                kme.add(i,j,pri[i][j]);
            }
        }
        kme.solve();
        LL ans=0;
        for(int i=1;i<=N;++i){
            ans+=1ll*pri[kme.Left[i]][i];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}
​

Ladies’ Choice 提交

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
typedef long long LL;
const int INF=0x7fffffff;
const int MAXN=2e3+100;
int N;
struct KM{
    vector<int> G[MAXN];
    int W[MAXN][MAXN];
    int Lx[MAXN],Ly[MAXN];
    int Left[MAXN];//右边的点匹配左边的哪一个
    int S[MAXN],T[MAXN];
    void init()
    {
        for(int i=1;i<=N;++i) G[i].clear();
        memset(W,0,sizeof(W));
    }
    void add(int u,int v,int w)
    {
        G[u].push_back(v);
        W[u][v]=w;
    }
    bool M(int u)
    {
        S[u]=1;
        int len=G[u].size();
        for(int i=0;i<len;++i){
            int v=G[u][i];
            if(Lx[u]+Ly[v]==W[u][v]&&!T[v]){
                T[v]=1;
                if(Left[v]==-1||M(Left[v])){
                    Left[v]=u;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    void update()
    {
        int a=INF;
        for(int u=1;u<=N;++u){
            if(S[u]){
                int len=G[u].size();
                for(int i=0;i<len;++i){
                    int v=G[u][i];
                    if(!T[v]){
                        a=min(a,Lx[u]+Ly[v]-W[u][v]);
                    }
                }
            }
        }
        for(int i=1;i<=N;++i){
            if(S[i]) Lx[i]-=a;
            if(T[i]) Ly[i]+=a;
        }
    }
    void solve()
    {
        for(int i=1;i<=N;++i){
            Lx[i]=*max_element(W[i]+1,W[i]+N+1);
            Left[i]=-1;
            Ly[i]=0;
        }
        for(int u=1;u<=N;++u){
            while(1){
                for(int i=1;i<=N;++i) S[i]=T[i]=0;
                if(M(u)){
                    break;
                }
                else{
                    update();
                }
            }
        }
    }
}kme;
int main()
{
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&N);
        kme.init();
        int id,a;
        for(int i=1;i<=N;++i){
            for(int j=N;j>=1;j--){
                scanf("%d",&a);
                kme.W[i][a]=j*i;
                kme.add(i,a,j*i);
            }
        }
        for(int i=1;i<=N;++i){
            for(int j=N;j>=1;j--){
                scanf("%d",&a);
                //kme.W[a][i]=j;
                //kme.add(a,i,j);
            }
        }
        kme.solve();
        for(int i=1;i<=N;++i){
            for(int j=1;j<=N;++j){
                if(kme.Left[j]==i){
                    printf("%d\n",j);
                }
            }
        }
    }
​
    return 0;
}
/*
1
5
1 2 3 5 4
5 2 4 3 1
3 5 1 2 4
3 4 2 1 5
4 5 1 2 3
2 5 4 1 3
3 2 4 1 5
1 2 4 3 5
4 1 2 5 3
5 3 2 4 1
*/
​