树状数组

树状数组

一、区间求和&&单点修改

树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于数组的单点修改&&区间求和

C [ i ] = A [ i - 2^k + 1 ] + A [ i - 2^k + 2 ] + ...... A [ i ] ; （k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）

树状数组一般是单点修改和区间查询，如果是区间修改和单点查询的话，可以用差分。 d [ i ] = a [ i ] - a[ i - 1 ] , a [ i ] = sum( d [ j ] )

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
const int MAXN=5e5+100;
int c[MAXN],a[MAXN]; //a原数组 c求和后数组 
int lowbit(int x){ return x&(-x); }
void add(int x,int y,int n)  //x更新位置 y为更新后的数  
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        c[i]+=y;
    } 
    return ;
}
int sum(int x) //1-x 求和 
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
        ans+=c[i];
    } 
    return ans;
}
int main()
{
    int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        add(i,a[i],n);
    }
    while(m--){
        int op; scanf("%d",&op);
        if(op==1){
            int x,k; scanf("%d%d",&x,&k);
            add(x,k,n);
        }else if(op==2){
            int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
            int cnt=sum(y)-sum(x-1);
            printf("%d\n",cnt);
        }
    }
    
    return 0;
 } 

区间修改&&区间查询

sumi(1,p) a [ i ] = sumi(1,p)sumj(1,i) d [ j ]

= sumi(1,p) d [ i ] * ( p - i +1) = ( p+1 ) * sumi(1,p) d [ i ] - sumi( 1, p) d [ i ] * i;

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
typedef long long LL;
const int MAXN=1e5+100;
int a[MAXN],d[MAXN],sum1[MAXN],sum2[MAXN];
int lowbit(int x) { return x&(-x); }
void add(LL x,LL y,int n)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        sum1[i]+=y,sum2[i]+=y*x;
    }
    return ;
}
void range_add(LL l,LL r,LL y,int n)
{
    add(l,y,n),add(r+1,-y,n);
    return ;
}
LL sum(LL x)
{
    LL ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
        ans+=(x+1)*sum1[i]-sum2[i];
    }
    return ans;
}
LL range_sum(LL l,LL r)
{
    return sum(r)-sum(l-1);
}
int main()
{
    int n; scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        d[i]=a[i]-a[i-1];
        add(i,d[i],n);
    }
    range_add(2,4,1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cout<<i<<" "<<sum(i)<<endl;
    }
    cout<<range_sum(1,n)<<endl;
    return 0;
}

二、二维树状数组

由于一般提供的是加减操作，遇到其他操作思考能否转化为加减操作。

单点修改&&区间查询

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
const int MAXN=1e3+100;
int c[MAXN][MAXN];
int lowbit(int x){ return x&(-x); }
void add(int x,int y,int z,int n) //将点(x,y)加上z 
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        for(int j=y;j<=n;j+=lowbit(j)){
            c[i][j]+=z;
        }
    }
    return ;
}
int sum(int x,int y) //求左上角为(1,1)右下角为(x,y)的矩阵和 
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
        for(int j=y;j;j-=lowbit(j)){
            ans+=c[i][j];
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n; scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            int a;
            scanf("%d",&a);
            add(i,j,a,n);
        }
    }
    int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
    printf("%d\n",sum(x,y));
    return 0;
 }
 /*
 5
 1 2 0 1 3
 3 4 1 2 0
 1 3 2 1 4
 0 0 1 2 1
 0 3 2 1 0
 3 4
 */

区间修改&&单点查询

d [ i ] [ j ] = a [ i ] [ j ] - ( a [ i - 1 ] [ j ] + a [ i ] [ j - 1 ] - a [ i - 1 ] [ j - 1 ] )

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
const int MAXN=1e4+100;
int a[MAXN][MAXN],c[MAXN][MAXN],d[MAXN][MAXN];
int lowbit(int x) { return x&(-x); }
​
void add(int x,int y,int z,int n)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        for(int j=y;j<=n;j+=lowbit(j)){
            c[i][j]+=z;
        }
    }
    return ;
}
void range_add(int ax,int ay,int bx,int by,int z,int n)
{
    add(ax,ay,z,n);
    add(bx+1,by+1,z,n);
    add(bx+1,ay,-z,n);
    add(ax,by+1,-z,n);
    return ;    
}
int sum(int x,int y)  //差分的和即为原数组 
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
        for(int j=y;j;j-=lowbit(j)){
            ans+=c[i][j];
        }
    }   
    return ans;
}
int main()
{
    int n; scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
            d[i][j]=a[i][j]-(a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]);
            add(i,j,d[i][j],n);
        }
    }   
    int ax,ay,bx,by,z; scanf("%d%d%d%d%d",&ax,&ay,&bx,&by,&z);
    range_add(ax,ay,bx,by,z,n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cout<<sum(i,j)<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}
/*
5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
*/ 

区间修改&&区间查询

二维前缀和：sumi(1,x)sumj(1,y)sumk(1,i)sumh(1,j) d [ h ] [ k ]

=（ x + 1 ) * ( y + 1 ) * sumi(1,x)sumj(1,y)d [ i ] [ j ] - ( y + 1 ) * sumi(1,x)sumj(1,y)d [ i ] [ j ] * i - (x+1) * sumi(1,x)sumj(1,y) d[ i ] [ j ] * j + sumi(1,x)sumj(1,y) d[ i ] [ j ] * i * j

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
typedef long long LL;
const int MAXN=1e3+100;
LL a[MAXN][MAXN],d[MAXN][MAXN];
LL sum1[MAXN][MAXN],sum2[MAXN][MAXN],sum3[MAXN][MAXN],sum4[MAXN][MAXN];
int lowbit(int x) { return x&(-x); }
void add(LL x,LL y,LL z,LL n,LL m)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j)){
            sum1[i][j]+=z;
            sum2[i][j]+=z*x;
            sum3[i][j]+=z*y;
            sum4[i][j]+=z*x*y;
        }
    }
    return ;
}
void range_add(LL ax,LL ay,LL bx,LL by,LL z,LL n,LL m)// (xa,ya) 到 (xb,yb) 的矩形 
{
    add(ax,ay,z,n,m);
    add(bx+1,by+1,z,n,m);
    add(bx+1,ay,-z,n,m);
    add(ax,by+1,-z,n,m);
    return ; 
}
LL sum(LL x,LL y)
{
    LL ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
        for(int j=y;j;j-=lowbit(j)){
            ans+=(x+1)*(y+1)*sum1[i][j]-(y+1)*sum2[i][j]-(x+1)*sum3[i][j]+sum4[i][j];
        } 
    }
    return ans;
}
LL range_sum(LL ax,LL ay,LL bx,LL by)
{
    return sum(bx,by)-sum(bx,ay-1)-sum(ax-1,by)+sum(ax-1,ay-1);
}
int main()
{
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--){
        memset(sum1,0,sizeof(sum1));
        memset(sum2,0,sizeof(sum2));
        memset(sum3,0,sizeof(sum3));
        memset(sum4,0,sizeof(sum4));
        int n,m;    scanf("%d%d",&n,&m);
        while(m--){
            char c; cin>>c;
            if(c=='C'){
                LL ax,ay,bx,by; cin>>ax>>ay>>bx>>by;
                range_add(ax,ay,bx,by,1,n,n);
            }else{
                LL x,y; cin>>x>>y;
                cout<<range_sum(x,y,x,y)%2<<endl;
            }
        }
        
        cout<<endl;
    }
    
return 0;
}

三、区间最大值

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
const int MAXN=1e5+100;
int a[MAXN],t[MAXN];
int lowbit(int x) { return x&(-x); }
void add(int x,int y,int n)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        t[i]=max(t[i],y);
    }
    return ;
}
int query(int x)
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        ans=max(ans,t[i]);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n; scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        add(i,a[i],n);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%d %d\n",i,query(i));
    }
    
    return 0;
}
/*
5
1 3 2 4 5
*/

四、逆序对

应为会用到输入数组作为下标，对内存要求很大，一般不使用

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
typedef long long LL;
const int MAXN=1e5+100;
int a[MAXN],b[MAXN];
int lowbit(int x){ return x&(-x); } 
void add(int x,int n)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        a[i]++;
    }
    return ;
}
int sum(int x)
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        ans+=a[i];
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n; scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&b[i]);
    }
    LL res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        add(b[i],n);
        res+=(LL)(i-sum(b[i]));
    }   
    printf("%lld\n",res);
    return 0;
 }