五大基础博弈论

五大基础博弈论

Nim 博弈

【题意】有n堆石子，每堆ai个石头，每个人任意可以选取一堆，取走任意多个，可以把一堆取光，但是不能不取，取走最后一个的人获胜。

【题解】a1^a2^……^an==0 先手必输

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
const int MAXN=1e4+100;
int a[MAXN];
​
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int flag=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            flag=flag^a[i];
        }
        if(flag) printf("First win\n");
        else printf("Second win\n");        
    }
    
    return 0;
}   

在先手会赢的情况下输出第一步可以走的方案数

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
const int MAXN=200;
int a[MAXN];
int main()
{
    int M;
    while(~scanf("%d",&M)){
        int ans=0;
        if(M==0) break;
        for(int i=1;i<=M;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            ans=ans^a[i];
        }
        if(ans==0) printf("0\n");
        else{
            int sum=0;
            for(int i=1;i<=M;i++){
                if((ans^a[i])<a[i]){//a[i]-ans^(a[i])为具体方案 
                    sum++;
                }
            }
            printf("%d\n",sum);//输出方案数 
        }
    }
    
    
    return 0;
}

反nim博弈 取到最后一个的输

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
int a[50];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int ans=0;
        int cnt=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            ans=ans^a[i];
            if(a[i]>1) cnt++;
        }
        if(cnt==0){
            if(ans) printf("Second win\n");
            else printf("First win\n");
        }else if(cnt==1){
            printf("First win\n");
        }else{
            if(ans) printf("First win\n");
            else printf("Second win\n");
        }
    }
    
    return 0;
}

nimk —— nim的扩展

【题意】一共有n堆石子，每个人每次可以从不超过k堆中取任意多个石子，最后不能取的人失败

【题解】把n堆石子的石头数用二进制表示，统计每个二进制位上1的个数，若每一位上1的个数mod(k+1)全部位0，则先手必败

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
const int MAXN=1e4+100;
int a[MAXN];
int len[MAXN];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    int cntt=0;
    while(T--){
        cntt++;
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int maxl=0;
        memset(len,0,sizeof(len));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            int aa=a[i];
            int nowl=0;
            while(aa){
                len[nowl]+=aa%2;
                aa=aa/2;
                nowl++;
            }
            maxl=max(maxl,nowl);
        }
        int flag=0;
        for(int i=0;i<=maxl;i++){
            if(len[i]%(m+1)){
                flag=1;
                break;
            }
        }
        if(flag) printf("Case #%d: Alice\n",cntt);
        else printf("Case #%d: Bob\n",cntt);
    }
    return 0;
}

Bash 博弈

【题意】一堆n个物品，每个人每次至少取一个，最多取m个

【题解】n==k*(m+1) 先手必败

n==k*(m+1)+r ( r>=1&&r<=m ) 先手必胜

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
int main()
{
    int C;
    scanf("%d",&C);
    while(C--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n%(m+1)==0) printf("Second win\n");
        else printf("First win\n");
    }
    
    return 0;
}

在先手为必胜态的情况下，输出第一步的方案

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
int main()
{
    int m,n;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){//n为石子总数，m为限制数 
        if(n%(m+1)==0) printf("none\n");//必败态 
        else{
            if(n>(m+1)){//输出余数，转变为后手的必败态 
                printf("%d\n",n%(m+1));
            }else{
                for(int i=n;i<=m;i++){//从总数到限制数，无论怎么取都能够一次性取完，先手必胜 
                    if(i!=n) printf(" ");
                    printf("%d",i);
                }
                printf("\n");
            }
        }
    }
    
    
    return 0;
}

Wythoff 博弈

【题意】有两堆石子，每个人可以从某一堆取或者从两堆中取同样多的物品，每次至少取一个，多则不限

【题解】[ ak , bk ] ( ak <= bk ) ak=(k*(sqrt(5)+1)/2) bk=ak+k 奇异局势 先手必输

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
int main()
{
    int a,b;
    while(~scanf("%d%d",&a,&b)){
        if(a>b) swap(a,b);
        int k=b-a;
        int ans=k*(sqrt(5.0)+1.0)/2.0; 
        if(a==ans) printf("Second win\n");
        else printf("First win\n");
    }
    
    return 0;
}

输出必胜态下第一次取完之后剩下的两堆石子数 x , y ( x <= y ) ，如果在任意对中取石子、在两堆中同时取石子都能胜，先输出取走相同石子的情况。

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
int main()
{
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF){
        if(a==0&&b==0) break;
        int k=b-a;
        int ans=k*(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
        if(ans==a) printf("0\n");
        else{
            printf("1\n");
            for(int i=1;i<=a;i++){//取两堆，枚举取的个数 
                int a1=a-i,b1=b-i;
                if(a1==ans) printf("%d %d\n",a1,b1);
            }
            for(int i=0;i<=b;i++){//取一堆，枚举差值 
                int aa=a,bb=b-i;
                if(aa>bb) swap(aa,bb);
                int kk=bb-aa;
                int tmp=kk*(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
                if(tmp==aa) printf("%d %d\n",aa,bb);
            }
        }
    } 
    
    
    return 0;
}

Fib 博弈

【题意】一堆n个石子，先手不能在第一次取完所有石子，之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的两倍之间（包含）

【题解】石子数为斐波那契数则先手必败

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int fib[233];
set<int> s;
void init()
{
	fib[1]=1,fib[2]=1;
	s.insert(1);
	for(int i=3;i<47;i++){
		fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
		s.insert(fib[i]);
	}
	return ;
}
int main()
{
	int n;
	init();
	while(~scanf("%d",&n)){
		if(n==0) break;
		if(s.count(n)) printf("Second win\n");
		else printf("First win\n");
	}
	
	
	return 0;
 } 

环形博弈

【题意】n个石子围成一个环，每次取一个或者取相邻的2个

【题解】石子数<=2先手赢

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		LL n;
		scanf("%lld",&n);
		if(n<=2) printf("First win\n");
		else printf("Second win\n");
	} 
	
	return 0;
 } 

P-N图

打表工具

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
	int n,m;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
		if(n==0&&m==0) break;
		char s[20][20];
        /*
		for(int i=1;i<=19;i++){
			for(int j=1;j<=19;j++){
				s[i][j]='*';
			}
		}
		*/
		s[n][1]='P';
		for(int i=n-1;i>=1;i--){
			if(s[i+1][1]=='P') s[i][1]='N';
			else s[i][1]='P';
		}
		for(int j=2;j<=m;j++){
			if(s[n][j-1]=='P') s[n][j]='N';
			else s[n][j]='P';
		} 
		
		for(int i=n-1;i>=1;i--){
			for(int j=2;j<=m;j++){
				if(s[i+1][j-1]=='N'&&s[i][j-1]=='N'&&s[i+1][j]=='N') s[i][j]='P';
				else s[i][j]='N';
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++) printf("%c ",s[i][j]);
			printf("\n");
		}
	}
	
	return 0;
}

SG函数 打表

【题意】 2 个人玩游戏，从 1 开始，轮流对数进行累乘（2~9），直到超过（>=）一个指定的值。

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=1e4+100;
int sg[MAXN];
int main()
{
	sg[0]=0,sg[1]=0;
	for(int i=2;i<MAXN;i++){
		set<int> s;
		for(int j=2;j<10&&j<=i;j++){
			if(i%j==0) s.insert(sg[i/j]);
			else s.insert(sg[i/j+1]);
		}
		int cnt=0;
		while(s.count(cnt)) cnt++;
		sg[i]=cnt;
	}
	for(int i=0;i<100;i++) cout<<i<<" "<<sg[i]<<endl;
	
	return 0;
}

bash f-n

当n*m为奇数时，总是可以找到一条路径走偶数步到达终点，先手必败

当n*m为偶数时，总是可以找到一条路径走奇数步到达终点，先手必胜

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
	int n,m;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
		if(n==0&&m==0) break;
		if(n*m%2==0) printf("Wonderful!\n");
		else printf("What a pity!\n");
	}
	
	return 0;
}