求最小生成树——Kruskal算法和Prim算法
给定一个带权值的无向图，要求权值之和最小的生成树，常用的算法有Kruskal算法和Prim算法。这两个算法其实都是贪心思想的使用，但又能求出最优解。（代码借鉴http://blog.csdn.net/u014488381）
一.Kruskal算法
Kruskal算法的基本思想：先将所有边按权值从小到大排序，然后按顺序选取每条边，假如一条边的两个端点不在同一个集合中，就将这两个端点合并到同一个集合中；假如两个端点在同一个集合中，说明这两个端点已经连通了，就将当前这条边舍弃掉；当所有顶点都在同一个集合时，说明最小生成树已经形成。（写代码的时候会将所有边遍历一遍）
来看一个例子：
步骤：
（1）先根据权值把边排序：
AD 5
CE 5
DF 6
AB 7
BE 7
BC 8
EF 8
BD 9
EG 9
FG 11
（2）
选择AD这条边，将A、D加到同一个集合1中
选择CE这条边，将C、E加到同一个集合2中（不同于AD的集合）
选择DF这条边，由于D已经在集合1中，因此将F加入到集合1中，集合变为A、D、F
选择AB这条边，同理，集合1变为A、B、D、F
选择BE这条边，由于B在集合1中，E在集合2中，因此将两个集合合并，形成一个新的集合ABCDEF
由于E、F已经在同一集合中，舍弃掉BC这条边；同理舍弃掉EF、BD
选择EG这条边，此时所有元素都已经在同一集合中，最小生成树形成
象征性地舍弃掉FG这条边
实现代码如下：
#include <iostream> #include <cstring> #define MaxSize 20 using namespace std; struct Edge{ int begin; int end; int weight; }; struct Graph{ char ver[MaxSize + 1]; int edg[MaxSize][MaxSize]; }; void CreateGraph(Graph *g) { int VertexNum; char Ver; int i = 0; cout << "输入图的顶点:" << endl; while ((Ver = getchar()) != '\n') { g->ver[i] = Ver; i++; } g->ver[i] = '\0'; VertexNum = strlen(g->ver); cout << "输入相应的邻接矩阵" << endl; for (int i = 0; i < VertexNum; i++) { for (int j = 0; j < VertexNum; j++) { cin >> g->edg[i][j]; //输入0则为没有边相连啊 } } } void PrintGraph(Graph g) { int VertexNum = strlen(g.ver); cout << "图的顶点为:" << endl; for (int i = 0; i < VertexNum; i++) { cout << g.ver[i] << " "; } cout << endl; cout << "图的邻接矩阵为:" << endl; for (int i = 0; i < VertexNum; i++) { for (int j = 0; j < VertexNum; j++) { cout << g.edg[i][j] << " "; } cout << endl; } } int getVerNum(Graph g) { return strlen(g.ver); } int getEdgeNum(Graph g) { int res = 0; int VertexNum = getVerNum(g); for (int i = 0; i < VertexNum; i++) { //邻接矩阵对称，计算上三角元素和即可 for (int j = i + 1 /*假设没有自己指向自己的*/; j < VertexNum; j++) { if (g.edg[i][j] != 0) res++; } } return res; } Edge *CreateEdges(Graph g) { int k = 0; int EdgeNum = getEdgeNum(g); int VertexNum = getVerNum(g); Edge * p = new Edge[EdgeNum]; for (int i = 0; i < VertexNum; i++) { for (int j = i; j < VertexNum; j++) { if (g.edg[i][j] != 0) { p[k].begin = i; p[k].end = j; p[k].weight = g.edg[i][j]; k++; } } } for (int i = 0; i < EdgeNum - 1; i++) { Edge minWeightEdge = p[i]; for (int j = i + 1; j < EdgeNum; j++) { if (minWeightEdge.weight > p[j].weight) { Edge temp = minWeightEdge; minWeightEdge = p[j]; p[j] = temp; } } p[i] = minWeightEdge; } return p; } void Kruskal(Graph g) { int VertexNum = getVerNum(g); int EdgeNum = getEdgeNum(g); Edge *p = CreateEdges(g); int *index = new int[VertexNum]; //index数组，其元素为连通分量的编号，index[i]==index[j]表示编号为i和j的顶点在同一连通分量中 int *MSTEdge = new int[VertexNum - 1]; //用来存储已确定的最小生成树的**边的编号**，共VertexNum-1条边 int k = 0; int WeightSum = 0; int IndexBegin, IndexEnd; for (int i = 0; i < VertexNum; i++) { index[i] = -1; //初始化所有index为-1 } for (int i = 0; i < VertexNum - 1; i++) { for (int j = 0; j < EdgeNum; j++) { if ( !(index[p[j].begin] >= 0 && index[p[j].end] >= 0 && index[p[j].begin] == index[p[j].end] /*若成立表明p[j].begin和p[j].end已在同一连通块中（且可相互到达，废话）*/) ) { MSTEdge[i] = j; if (index[p[j].begin] == -1 && index[p[j].end] == -1) { index[p[j].begin] = index[p[j].end] = i; } else if (index[p[j].begin] == -1 && index[p[j].end] >= 0) { index[p[j].begin] = i; IndexEnd = index[p[j].end]; for (int n = 0; n < VertexNum; n++) { if (index[n] == IndexEnd) { index[n] == i; } } } else if (index[p[j].begin] >= 0 && index[p[j].end] == -1) { index[p[j].end] = i; IndexBegin = index[p[j].begin]; /*将连通分量合并（或者说将没加入连通分量的顶点加进去，然后将原来连通分量的值改了）*/ for (int n = 0; n < VertexNum; n++) { if (index[n] == IndexBegin) { index[n] == i; } } } else { IndexBegin = index[p[j].begin]; IndexEnd = index[p[j].end]; for (int n = 0; n < VertexNum; n++) { if (index[n] == IndexBegin || index[n] == IndexEnd) { index[n] = i; } } } break; } } } cout << "MST的边为:" << endl; for (int i = 0; i < VertexNum - 1; i++) { cout << g.ver[p[MSTEdge[i]].begin] << "--" << g.ver[p[MSTEdge[i]].end] << endl; WeightSum += p[MSTEdge[i]].weight; } cout << "MST的权值为:" << WeightSum << endl; }
二.Prim算法（代码还没理解）
Prim算法的基本思想：设置两个存放顶点的集合，第一个集合初始化为空，第二个集合初始化为一个包含所有顶点的集合。首先把图中的任意一个顶点a放进第一个集合，然后在第二个集合中找到一个顶点b，使b到第一个集合中的任意一点的权值最小，然后把b从第二个集合移到第一个集合。接着在第二个集合中找到顶点c，使c到a或b的权值比到第二个集合中的其他任何顶点到a或b的权值都要小，然后把c从第二个集合移到第一个集合中。以此类推，当第二个集合中的顶点全部移到第一个集合时，最小生成树产生。
以上面的图再次作为例子：
设第一个集合为V，第二个集合为U。
V={A}, U={B, C, D, E, F, G}
（1）A连接了两个顶点，B和D，AB权值为7，AD权值为5，选择权值小的一条边和相应的顶点D，将D加入集合V中。V={A, D}, U={B, C, E, F, G}
（2）观察包含V中的元素A和D的边，AB权值为7，BD权值为9，DE权值为15，DF权值为6，将F加入V中。V={A, D, F}, U={B, C, E, G}
（3）依次将B(AB)、E(BE)、C(CE)、G(EG)加入到集合V中。
（4）最小生成树的边包括：AD DF AB BE CE EG，problem solved
实现代码如下：
#include <iostream> #include <vector> #include <cstring> using namespace std; #define MaxSize 20 struct Graph{ char ver[MaxSize + 1]; int edg[MaxSize][MaxSize]; }; void CreateGraph(Graph *g) { int VertexNum; char Ver; int i = 0; cout << "输入图的顶点:" << endl; while ((Ver = getchar()) != '\n') { g->ver[i] = Ver; i++; } g->ver[i] = '\0'; VertexNum = strlen(g->ver); cout << "输入相应的邻接矩阵" << endl; for (int i = 0; i < VertexNum; i++) { for (int j = 0; j < VertexNum; j++) { cin >> g->edg[i][j]; //输入0则为没有边相连啊 } } } void PrintGraph(Graph g) { int VertexNum = strlen(g.ver); cout << "图的顶点为:" << endl; for (int i = 0; i < VertexNum; i++) { cout << g.ver[i] << " "; } cout << endl; cout << "图的邻接矩阵为:" << endl; for (int i = 0; i < VertexNum; i++) { for (int j = 0; j < VertexNum; j++) { cout << g.edg[i][j] << " "; } cout << endl; } } int getVerNum(Graph g) { return strlen(g.ver); } //将不邻接的顶点之间的权值设为 void SetWeight(Graph *g) { for (int i = 0; i < getVerNum(*g); i++) { for (int j = 0; j < getVerNum(*g); j++) { if (g->edg[i][j] == 0) { g->edg[i][j] = INT_MAX; } } } } void Prim(Graph g, int *parent) { //V为所有顶点的集合，U为最小生成树的节点集合 int lowcost[MaxSize]; //lowcost[k]保存着编号为k的顶点到U中所有顶点的最小权值 int closest[MaxSize]; //closest[k]保存着U到V-U中编号为k的顶点权值最小的顶点的编号 int used[MaxSize]; int min; int VertexNum = getVerNum(g); for (int i = 0; i < VertexNum; i++) { lowcost[i] = g.edg[0][i]; closest[i] = 0; used[i] = 0; parent[i] = -1; } used[0] = 1; for (int i = 0; i < VertexNum - 1; i++) { int j = 0; min = INT_MAX; for (int k = 1; k < VertexNum; k++) { //找到V-U中的与U中顶点组成的最小权值的边的顶点编号 if (used[k] == 0 && lowcost[k] < min) { min = lowcost[k]; j = k; } } parent[j] = closest[j]; used[j] = 1; for (int k = 0; k < VertexNum; k++) { //由于j顶点加入U中，更新lowcost和closest数组中的元素，检测V-U中的顶点到j顶点的权值是否比j加入U之前的lowcost数组的元素小 if (used[k] == 0 && g.edg[j][k] < lowcost[k]) { lowcost[k] = g.edg[j][k]; closest[k] = j; } } } } void PrintMST(Graph g, int *parent) { int VertexNum = getVerNum(g); int weight = 0; cout << "MST的边为:" << endl; for (int i = 1; i < VertexNum; i++) { cout << g.ver[parent[i]] << "--" << g.ver[i] << endl; weight += g.edg[parent[i]][i]; } cout << "MST的权值为" << weight << endl; } int main() { Graph g; int parent[20]; CreateGraph(&g); PrintGraph(g); SetWeight(&g); Prim(g, parent); PrintMST(g, parent); return 0; }
三.Kruskal算法和Prim算法的适用情况
Kruskal算法适用于边稀疏的情况（要进行排序），Prim算法适用于边稠密的情况。
