从Leetcode的Combination Sum系列谈起回溯法
在LeetCode上面有一组非常经典的题型——Combination Sum，从1到4。其实就是类似于给定一个数组和一个整数，然后求数组里面哪几个数的组合相加结果为给定的整数。在这个题型系列中，1、2、3都可以通过回溯法来解决，其实4也可以，不过由于递归地比较深，采用回溯法会出现TLE。因此本文只讨论前三题。
什么是回溯法？回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索以达到目标。当探索到某一步时，发现原先的选择并不优或达不到目标，就退回异步重新选择。回溯法是深度优先搜索的一种，但回溯法在求解过程不保留完整的树结构。
下面是原题地址：
Combination Sum：https://leetcode.com/problems/combination-sum/description/
Combination Sum II：https://leetcode.com/problems/combination-sum-ii/description/
Combination Sum III：https://leetcode.com/problems/combination-sum-iii/description/
（1）Combination Sum：
首先来看一下Combination Sum的原题：
这道题目给定一个数组和一个目标数，允许数组的元素重复出现在结果中。下面是代码：
class Solution { public: void findCombination(vector<vector<int> >& res, vector<int> candidates, vector<int> temp, int target, int pos) { if (target == 0) { res.push_back(temp); } else { for (int i = pos; i < candidates.size(); i++) { if (candidates[i] > target) break; temp.push_back(candidates[i]); findCombination(res, candidates, temp, target - candidates[i] , i); temp.pop_back(); } } } vector<vector<int> > combinationSum(vector<int>& candidates, int target) { vector<int> temp; vector<vector<int> > res; sort(candidates.begin(), candidates.end()); findCombination(res, candidates, temp, target, 0); return res; } };
回溯法其实很简单，基本思想就蕴含在代码中间temp.push_back、findCombination和temp.pop_back那三行。先将当前元素放到结果数组里面，然后再继续向下递归，递归完成了，将这个元素拿出来，换成下一个，继续类似的操作。谈起来有点难懂，但实际写写代码就很容易明白了。
我的习惯是写一个辅助函数来求出结果。在combinationSum函数里面很重要的一点就是要先对传入的数组进行排序。其中的原因之一是因为在辅助函数中，当加上当前循环到的candidates[i]，数组元素之和已经大于target时，我们可以马上确定停止循环，因为加上后面的元素一定是不满足条件的。还有一个原因在后面提及。
然后仔细分析这个辅助的函数几个值得注意的点。
首先我们采用的是将target减去当前candidates[i]的值，当target的值最后为零时，当前的数组就是满足条件的。为什么这样减呢？因为避免了求算结果数组的和、再和target比较的麻烦。
其次是传入的最后一个参数pos。这也是前面所谈的先对传入的数组进行排序的另外一个原因。思考一下这样一种情况：给定的数组为[1,2,3]，target为3，假若不用这个pos值，我们会同时得到[1,2]和[2,1]这两个重复的结果，这是不对的。因此，先对传入数组排序，加上pos值的应用，使后面递归要加上的元素不会包括已经访问过的元素，这样就可以避免上面情况的出现。
（2）Combination Sum II：
与上面一题相比，这一题不能重复已经在结果数组里面的元素。这就需要用到了一个记录数组是否已经被访问过的isVisited数组。
代码如下：
class Solution { public: void dfs(vector<vector<int> >& res, map<int, bool> isVisited, vector<int> candidates, vector<int> temp, int target, int pos) { if (target == 0) { res.push_back(temp); } else { for (int i = pos; i < candidates.size(); i++) { if (!isVisited[i]) { if (target - candidates[i] < 0) break; if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && !isVisited[i - 1]) continue; isVisited[i] = true; temp.push_back(candidates[i]); dfs(res, isVisited, candidates, temp, target - candidates[i], i + 1); temp.pop_back(); isVisited[i] = false; } } } } vector<vector<int> > combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) { vector<vector<int> > res; map<int, bool> isVisited; for (int i = 0; i < candidates.size(); i++) { isVisited[i] = false; } vector<int> temp; sort(candidates.begin(), candidates.end()); dfs(res, isVisited, candidates, temp, target, 0); return res; } };
还有一点需要注意的是（这一点可能是上面一题遗漏的，换句话来说，是出题的时候没考虑的）：样例中有两个1，考虑一下，这是不是会导致结果出现两组[1,7]？因此，我们要对这种情况进行判断，当出现这种情况时，可以马上停止往下的递归，因为之前肯定已经出现过一模一样的了。
代码中的这一段就是用来解决这种情况的（当然，要先排序）：
if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && !isVisited[i - 1]) continue;
当candidates[i]和前一个元素相同，且前一个元素未被访问时，跳过。我想，比较难理解的是后面的!isVisited[i - 1]。想一想，假如前面一个元素isVisited为true，那么代表这两个元素是在同一个结果里面，比如样例里面的[1,1,6]。如果是false，就说明了这两个相同的元素不在同一个结果里面，就出现重复了。
个人感觉这个小技巧可以用在所有类似题目里面。
（3）Combination Sum III
这一题就没啥可讲了，只要明白了前面两题，这一题很容易。代码：
class Solution { public: void helper(vector<vector<int> >& res, vector<int> temp, int k, int n, int pos) { if (temp.size() == k) { if (n == 0) res.push_back(temp); } else { for (int i = pos; i <= 9; i++) { if (temp.size() > k || n - i < 0) break; temp.push_back(i); helper(res, temp, k, n - i, i + 1); temp.pop_back(); } } } vector<vector<int> > combinationSum3(int k, int n) { vector<vector<int> > res; vector<int> temp; helper(res, temp, k, n, 1); return res; } };
上面就是Leetcode上关于回溯法的一组题目。我认为要理解回溯法，最简单的例子是求全排列，LeetCode上面也有相应的题目，因为原理差不多，直接上代码：
46. Permutations（https://leetcode.com/problems/permutations/description/）
class Solution { public: void dfs(vector<vector<int> >& res, vector<int> nums, vector<int> temp, map<int, bool> isVisited, int size) { if (temp.size() == size) { res.push_back(temp); } else { for (int i = 0; i < size; i++) { if (!isVisited[i]) { isVisited[i] = true; temp.push_back(nums[i]); dfs(res, nums, temp, isVisited, size); temp.pop_back(); isVisited[i] = false; } } } } vector<vector<int> > permute(vector<int>& nums) { vector<vector<int> > res; vector<int> begin; map<int, bool> isVisited; for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { isVisited[i] = false; } dfs(res, nums, begin, isVisited, nums.size()); return res; } };
47. Permutations II（https://leetcode.com/problems/permutations-ii/description/）
class Solution { public: void dfs(vector<vector<int> >& res, vector<int> nums, vector<int> temp, map<int, bool> isVisited, int size) { if (temp.size() == size) { res.push_back(temp); } else { for (int i = 0; i < size; i++) { if (!isVisited[i]) { if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && !isVisited[i - 1]) continue; isVisited[i] = true; temp.push_back(nums[i]); dfs(res, nums, temp, isVisited, size); temp.pop_back(); isVisited[i] = false; } } } } vector<vector<int> > permuteUnique(vector<int>& nums) { vector<vector<int> > res; vector<int> begin; map<int, bool> isVisited; sort(nums.begin(), nums.end()); for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { isVisited[i] = false; } dfs(res, nums, begin, isVisited, nums.size()); return res; } };
这题就需要上面Combination Sum II的方法了。
还有一道也是用回溯法解决的题目，需要理解一下的，也放在这里了：
22. Generate Parentheses（https://leetcode.com/problems/generate-parentheses/description/）
class Solution { public: void helper(vector<string>& res, string temp, int n, int left, int right) { if (left + right == 2 * n) { cout << temp << endl; res.push_back(temp); return; } if (left < n) { temp += '('; helper(res, temp, n, left + 1, right); temp = temp.substr(0, temp.size() - 1); } if (right < left) { temp += ')'; helper(res, temp, n, left, right + 1); temp = temp.substr(0, temp.size() - 1); } } vector<string> generateParenthesis(int n) { vector<string> res; helper(res, "", n, 0, 0); return res; } };
