bzoj 4414 数量积 结论题
数量积
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Description
神犇heheda最近得到了UOJ抱枕,蒟蒻yts1999想要玩。于是heheda给yts1999出了一道题:
一个长度为2n+2的整数数列 按照下式定义:
A0=0
A1=C
Ai+2=(Ai+1+Ai) Mod M (0<=i<=2*N)
现有n个平面向量v1…vn:
V1=(A2,A3),V2=(A4,A5)...Vn=(A2n,A2n+1)
集合S的定义如下:
![](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/upload/201602/111.png)
其中"vi•vj"表示向量vi和vj的数量积。
求S集合中不同元素的个数是多少。答案对M取模。
heheda告诉yts1999,只要他做出了这道题,她就可以把抱枕借给他玩一会。然而yts1999实在是太弱了不会做,于是向你求助。
Input
输入数据包含一行三个整数C,M和n,分别表示a1的值,模数和平面向量的个数,每两个数之间用一个空格隔开。
Output
输出一行一个整数表示答案对M取模后的值。
Sample Input
4 5 3
Sample Output
2
HINT
数列为{0,4,4,3,2,0,2,2},v1=(4,3),v2=(2,0),v3=(2,2)。
v1•v2 mod M=3, v2•v3 mod M=4, v1•v3 mod M=4。
对于100%的数据,1≤C≤10^9,1≤M≤10^9,1≤n≤3*10^5
题解:对于这类类似菲波那切数列的数列,有一个重要结论f[1]*f[n+m+1]=f[n]*f[m]+f[n+1]*f[m+1]
这不就是题目所要求的数量积吗?
1 #include<cstring> 2 #include<algorithm> 3 #include<iostream> 4 #include<cstdio> 5 #include<queue> 6 7 #define N 1200007 8 #define ll long long 9 using namespace std; 10 inline int read() 11 { 12 int x=0,f=1;char ch=getchar(); 13 while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} 14 while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();} 15 return x*f; 16 } 17 18 int m,n,tot,ans; 19 ll f[N],q[N]; 20 21 int main() 22 { 23 f[1]=read();m=read();n=read();n<<=2; 24 if (m==1) return puts("1"),0; 25 for (int i=2;i<=n;i++) 26 { 27 f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%m; 28 if ((i&1)&&i>6) q[++tot]=f[i]*f[1]%m; 29 } 30 sort(q+1,q+tot+1); 31 for (int i=1;i<=tot;i++) 32 if (q[i]!=q[i-1]||i==1) ans++; 33 ans%=m; 34 printf("%d",ans); 35 }