bzoj 4555 [Tjoi2016&Heoi2016]求和 NTT 第二类斯特林数 等比数列求和优化

[Tjoi2016&Heoi2016]求和

Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 679  Solved: 534
[Submit][Status][Discuss]

Description

在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。

现在他想计算这样一个函数的值:

S(i, j)表示第二类斯特林数，递推公式为:

S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1。

边界条件为：S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i)

你能帮帮他吗?

Input

输入只有一个正整数

Output

 输出f(n)。由于结果会很大，输出f(n)对998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的结果即可。1 ≤ n ≤ 100000

Sample Input

3

Sample Output

87

HINT

 

Source

 

 

多谢大佬的blog，我自己写比较慢，所以直接贴了。

这题本来是来练多项式求逆的，但是好像其它方法也可以做。

然后就通过这样的方法解出了，我们都知道等比数列求和的第一项需要特殊考虑，所以g[1]=n

然后就是卷积的形式了，从n^2 log n----------->  n log n

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>

#define ll long long
#define mod 998244353
#define G 3
#define N 100007
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n,num,L,inv;
int jc[N],ny[N],jcn[N];
ll a[N<<2],b[N<<2],rev[N<<2];

int fast_pow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if (b&1) ans=(ll)ans*a%mod;
        a=(ll)a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void NTT(ll *a,ll f)
{
    for (ll i=0;i<num;i++)
        if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for (ll i=1;i<num;i<<=1)
    {
        ll wn=fast_pow(G,(mod-1)/(i<<1));
        for (ll j=0;j<num;j+=(i<<1))
        {
            ll w=1;
            for (ll k=0;k<i;w=(ll)w*wn%mod,k++)
            {
                ll x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+k+i]%mod;
                a[j+k]=(x+y>=mod)?x+y-mod:x+y,a[j+k+i]=(x-y<0)?x-y+mod:x-y;
            }
        }
    }
    if (f==-1)
    {
        for (ll i=1;i<num/2;i++) swap(a[i],a[num-i]);
        for (ll i=0;i<num;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
    }
}
int main()
{
    n=read();
    jc[0]=1,ny[0]=1,jcn[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mod,ny[i]=fast_pow(i,mod-2),jcn[i]=(ll)jcn[i-1]*ny[i]%mod;
    for (int i=0;i<=n;i++)
        a[i]=(ll)((i&1)?-1:1)*jcn[i];
    for (int i=2;i<=n;i++)
        b[i]=(ll)(fast_pow(i,n+1)-i)*jcn[i]%mod*ny[i-1]%mod;b[1]=n;
    for (num=1;num<=2*n;num<<=1,L++);if (L) L--;inv=fast_pow(num,mod-2);
    for (int i=0;i<=num;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<L);
    NTT(a,1),NTT(b,1);
    for (int i=0;i<num;i++)
        a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
    NTT(a,-1);
    int ans=1;//第一项的等比数列的影响 
    for (int i=1;i<=n;i++)
        (ans+=(ll)fast_pow(2,i)*jc[i]%mod*a[i]%mod)%=mod;
    ans=(ans+mod)%mod;
    printf("%d\n",ans);    
}