扩展欧几里得(ex_gcd)，中国剩余定理（CRT）讲解 有代码

扩展欧几里得算法

　　求逆元就不说了。

　　ax+by=c

　　这个怎么求，很好推。

　　设d=gcd(a,b) 满足d|c方程有解，否则无解。

　　扩展欧几里得求出来的解是 x是 ax+by=gcd(a,b)的解。

　　对于c的话只需要x*c/gcd(a,b)%(b/d)即可，因为b/d的剩余系更小。

　　为什么这样呢？

　　设a'=a/d,b'=b/d 求出a'x+b'y=1的解，两边同时乘d，然后x也是ax+by=d的解，

　　然后因为b'的剩余系更小，所以%b’

中国剩余定理是合并线性方程组的

中国余数定理

　　转化为一个线性方程 ax+by=c

　　　a,b

　　　c,d

　　　num % a=b;

　　　num % c=d;

　　　求num最小正整数解;

　　　num=ax+b=cy+d

　　　ax-cy=d-b

　　　可以化为求解 ax≡(d-b)(mod c);

　　　ax+cy=d-b

　　　用ex_gcd求解出x;

　　　num=a*x+b;

　　　这样num mod a=b

　　　num mod c=d-b+b=d

　　　因为x为最小正整数解，所以num为最小解

　　　满足的集合为{x|x=num+k·[a,b],(k∈Z)}

　　　然后转化为%lcm(a,c)=num

　　　然后继续合并

附上代码，完美代码

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll fzy=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;y=t-a/b*y;
    return fzy;
}
int main()
{
    int t;
    ll z1,z2,z3,z4;
    while (cin>>t)
    {
        bool flag=0;
        scanf("%lld%lld",&z1,&z2);
        for (int i=1;i<t;i++)
        {
            scanf("%lld%lld",&z3,&z4);
            if (flag) continue;
            ll a=z1,b=z3,c=z4-z2;
            ll x,y;
            ll d=ex_gcd(a,b,x,y);
            if (c%d!=0)
            {
                flag=1;
                continue;
            }
            ll t=b/d;
            x=(x*(c/d)%t+t)%t;//t的剩余系更小。
            z2=z1*x+z2;//得出num
            z1=z1*(z3/d);
            cout<<"z1="<<z1<<" z2="<<z2<<endl;
        }
        if (flag==1) cout<<-1<<endl;
        else cout<<z2<<endl;
    }
}