bzoj 1925 [Sdoi2010]地精部落 dp

[Sdoi2010]地精部落

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Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT

 
对于 20%的数据，满足 N≤10； 
对于 40%的数据，满足 N≤18； 
对于 70%的数据，满足 N≤550； 
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

Source

第一轮Day2

 

题解　

将题目简化为1-n的所有排列中满足高低交替出现的个数，可以用动态规划实现。

我们用f[n][k]表示n个数，最后一个为k且最后两个递增，g[n][k]表示n个数最后一个数为k且最后两个递减。

对于f[n][k]，若我们将数列中每个数x换为n+1-x，则就成了g[n][n+1-k]，所以可得f[n][k]=g[n][n+1-k]。

那么可得：

所以动态转移方程为f[n][k]=f[n][k-1]+f[n-1][n-k+1]

由于对称性，最终的答案为2ans。

但是题目范围n<=4200，所以想到用滚动数组来压缩空间，于是这道题就AC了。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>

#define N 4307
using namespace std;

int n,p;
int f[2][N],ans=0,x=0,y=1;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    if (n==1){cout<<1<<endl;return 0;}

    f[0][1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=i;j++) f[y][j]=(f[y][j-1]+f[x][i-j+1])%p;
        swap(x,y);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f[x][i])%p;
    ans=(ans*2)%p;
    
    printf("%d\n",ans);
}