bzoj1010[HNOI2008] 玩具装箱toy

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

题解

2014.3.20

dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2) (j<i)

令f[i]=sum[i]+i,c=1+l

则dp[i]=min(dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2)

1.证明决策单调性

假设在状态i处的k决策优与j决策，即

dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2

则对于i后的所有状态t，要证明决策单调性

即dp[k]+(f[t]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[t]-f[j]-c)^2

只要证

dp[k]+(f[i]+v-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]+v-f[j]-c)^2

只要证

dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2+2*v*(f[i]-f[k]-c)+v^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2+2*v*(f[i]-f[j]-c)+v^2

只要证

2*v*(f[i]-f[k]-c)<=2*v*(f[i]-f[j]-c)

即f[k]>=f[j]（显然）

证明完毕

2.求斜率方程

因为dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2

展开

dp[k]+f[i]^2-2*f[i]*(f[k]+c)+(f[k]+c)^2<=dp[j]+f[i]^2-2*f[i]*(f[j]+c)+(f[j]+c)^2

即

dp[k]-2*f[i]*(f[k]+c)+(f[k]+c)^2<=dp[j]-2*f[i]*(f[j]+c)+(f[j]+c)^2

即(dp[k]+(f[k]+c)^2-dp[j]-(f[j]+c)^2)/2*(f[k]-f[j])<=f[i]

f[i]是单调递增的，我们使用队列维护一个下凸壳，每次取出队头作为决策

加入决策i时，令队尾为q[r]，前一个为q[r-1]

满足斜率(q[r],i)<斜率(q[r-1],q[r])时，显然队尾是无效的，将其弹出

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 50007
using namespace std;

int n,L,l,r;
int c[N],q[N];
ll s[N],f[N],C;

double slop(int j,int k)
{
    return (f[k]-f[j]+(s[k]+C)*(s[k]+C)-(s[j]+C)*(s[j]+C))/(2.0*(s[k]-s[j]));
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&L);
    C=L+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&c[i]);
        s[i]=s[i-1]+c[i];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) s[i]+=i;
    l=r=1,q[r]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r&&slop(q[l],q[l+1])<=s[i])l++;
        int t=q[l];
        f[i]=f[t]+(s[i]-s[t]-C)*(s[i]-s[t]-C);
        while(l<r&&slop(q[r],i)<slop(q[r-1],q[r]))r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
}