bzoj2257 [Jsoi2009]瓶子和燃料 最大公约数

 [Jsoi2009]瓶子和燃料

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Description

jyy就一直想着尽快回地球，可惜他飞船的燃料不够了。 
有一天他又去向火星人要燃料，这次火星人答应了，要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy
的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ，经过协商，火星人只要其中的K 个 。 jyy
将 K个瓶子交给火星人之后，火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度，只
在瓶口标注了容量，第i个瓶子的容量为Vi（Vi 为整数，并且满足1<=Vi<=1000000000 ） 。 
火星人比较吝啬，他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后，会跑到燃料
库里鼓捣一通，弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手，于是事先了解了火
星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作：1、将某个瓶子装满燃料；
2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库；3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b，直到瓶子b满
或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料，当然是这些操作能
得到的最小正体积。 
jyy知道，对于不同的瓶子组合，火星人可能会被迫给出不同体积的燃料。jyy希望找
到最优的瓶子组合，使得火星人给出尽量多的燃料。 

Input

第1行：2个整数N,K，  
第2..N 行：每行1个整数，第i+1 行的整数为Vi  

Output

仅1行，一个整数，表示火星人给出燃料的最大值。

Sample Input

3 2
3
4
4

Sample Output

4

HINT

选择第2 个瓶子和第 个瓶子，火星人被迫会给出4 体积的容量。 

 

题解：可以这样证明，设交出去的k个数的最大公约数是d

那么每个数对应的是ad,bd,cd...nd之类的数，相减，相加，最小得到的就是d，但是为什么d是最小的呢？

对于ad，bd 设其最终的贡献（即倒入-倒出）分别为 s和t，

那么如果 s*a*d+t*b*d=d 有解的话，可以证明d就是最后结果，因为d已经是最小的。

转化为 s*a+t*b=1 有解，因为a和b已经除去最大公约数，所以gcd(a,b)=1

因此，模线性方程组有正整数解s,t，所以可以证明d为最小值，

 

因为要求最小值的最大值，那么只需要找一个公约数>=k（出现次数），中最大的就是结果了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath> 
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

int n,k,cnt,ans;
int a[10000007];

void gx(int x)
{
    for(int i=1;i<=sqrt(x);i++)
        if(x%i==0)
        {
            a[++cnt]=i;
            if(i!=x/i) a[++cnt]=x/i;
         }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        gx(x);
    }
    sort(a+1,a+cnt+1);
    int tmp=1;
    for(int i=cnt;i>0;i--)
    {
        if(a[i]==a[i+1])tmp++;
        else 
        {
            if(tmp>=k)
            {
                printf("%d",a[i+1]);
                return 0;
            }
            tmp=1;
        }
    }
}