石子合并(NOI1995)
石子合并(NOI1995)
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题目描述
在操场上沿一直线排列着
n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的两堆石子合并成新的一堆,
并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。允许在第一次合并前对调一次相邻两堆石子的次序。
计算在上述条件下将n堆石子合并成一堆的最小得分和初次交换的位置。
输入
输入数据共有二行,其中,第1行是石子堆数n≤100;
第2行是顺序排列的各堆石子数(≤20),每两个数之间用空格分隔。
输出
输出合并的最小得分。
样例输入
3 2 5 1
样例输出
11
看题目可以看出它是没有环的,貌似有环的石子归并也有。题目中开始可以交换相邻的两堆石子可以用枚举实现,然后就是2D/1D类型的dp
一次复杂度为O(n^3),所有总复杂度为O(n^4),这是复杂度一算为1*10^8,也就是100 million,这个还需要卡常数,在当时绝对是卡不过去的,
这时一个非常强势的优化就出现了,那就是平行四边形优化,可以缩掉一维转移的时间。
【定理 1】假如函数 w 满足上述条件,那么函数 m 也满足四边形不等式,即
m (i, j ) + m (i’, j') £ m (i', j ) + m (i , j') , i ≤ i' < j ≤ j'
我们定义 s (i , j ) 为函数 m (i , j ) 对应的决策变量的最大值
【定理 2】假如 m (i , j ) 满足四边形不等式,那么 s (i , j ) 单调,即:
s (i, j ) ≤ s (i, j +1) ≤ s (i + 1, j +1)
以上比较粗略,详细可以见
动态规划加速原理之四边形不等式 华中师大一附中 赵爽
看一下代码比较好
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstring> #include<string> #include<iostream> using namespace std; const int MAXN=107; int n,ans,dp[MAXN][MAXN],a[MAXN],s[MAXN][MAXN],sum[MAXN]; void solve() { memset(dp,0,sizeof(dp)); memset(s,0,sizeof(s)); for (int i=1;i<=n;i++) { sum[i]=a[i]+sum[i-1]; dp[i][i]=0; s[i][i]=i; } for (int t=1;t<n;t++) for (int i=1;i<=n-t;i++) { int j=i+t; dp[i][j]=MAXN*MAXN*MAXN; for (int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++) //这里s即为平行四边形优化的数组 { if (dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]) { dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]; s[i][j]=k; //记录下i,j的最优转移点。 } } } ans=min(ans,dp[1][n]); } int main() { scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&a[i]); } ans=MAXN*MAXN*MAXN; solve(); for (int i=1;i<n;i++) { swap(a[i],a[i+1]); solve(); swap(a[i],a[i+1]); } cout<<ans<<endl; }