LCT

Link Cut Tree

这个就是平常所说的lct。

这个的功能非常强大，可以支持连边，删边，将两棵树连在一起，区间寻找最大，判断两个点是否连在一起，.......

需要特别说明一下：

　　1.splay维护的是一条链，不是整棵树。

　　2.整棵树是分成许多不同的链，然后用splay维护的。

　　3.然后整片森林是分成多棵树的。

　　4.splay是以深度为关键字来进行维护操作的。

首先来定义一些量：

　　access(X)：表示访问X点（之后会有说明）。

　　Preferred child（偏爱子节点）：如果最后被访问的点在X的儿子P节点的子树中，那么称P为X的Preferred child，如果一个点被访问，他的Preferred child为null(即没有)。

　　Preferred edge（偏爱边）：每个点到自己的Preferred child的边被称为Preferred edge。

　　Preferred path（偏爱路径）：由Preferred edge组成的不可延伸的路径称为Preferred path。

这样我们可以发现一些比较显然的性质，每个点在且仅在一条Preferred path上，也就是所有的Preferred path包含了这棵树上的所有的点，这样一颗树就可以由一些Preferred path来表示（类似于轻重链剖分中的重链），我们用splay来维护每个条Preferred path，关键字为深度，也就是每棵splay中的点左子树的深度都比当前点小，右节点的深度都比当前节点

的深度大。这样的每棵splay我们称为Auxiliary tree(辅助树)，每个Auxiliary tree的根节点保存这个Auxiliary tree与上一棵Auxiliary tree中的哪个点相连。这个点称作他的Path parent。

access（x）操作（这个是整个LCT里最重要的操作）。

　　作用是将x与根变为一棵splay来维护。

 1 void access(int x)//打通根到x的路，使之成为一颗splay，但是深度不变。 
 2 {
 3     int t=0;
 4     while(x)
 5     {
 6         splay(x);
 7         c[x][1]=t;//只需要将深度比它低的点断掉，然后不断连下面的有用的边。 
 8         t=x,x=fa[x];
 9     }
10 }

link（x,y）

　　表示将x，和y连成一起。

1 void link(int x,int y)
2 {
3     makeroot(x);
4     fa[x]=y;
5     splay(x);//维护平衡 
6 }

cut（x,y）

　　·表示将x与y的边断开。

1 void cut(int x,int y)
2 {
3     makeroot(x);//深度最小 x一定是原来深度最大的。然后y一定是断开后的splay中深度最小的 
4     access(y);//y和x属于同一个splay 
5     splay(y);//y旋转到根，因为x深度最小，y与x有连边，所以y是第二小，也就是x绝对是y的左子树。 
6     c[y][0]=fa[x]=0;//没有节点比x根的节点更小。 
7 }

find（x）

　　寻找当前这棵树的根（可以用来判断x,y是否相连接）

1 int find(int x)
2 {
3     access(x),splay(x);
4     int y=x;
5     while(c[y][0]) y=c[y][0];
6     return y;
7 }

makeroot（x）

　　将x变为x所在的树上的root

1 void makeroot(int x)//变成整棵树的根。 
2 {
3     access(x);
4     splay(x);
5     rev[x]^=1;//顺序反了以下x的深度也就最小了。 
6 }

splay（x）

　　表示将x变为splay的根，但是深度都不变，树的结构不发生变化。

 

然后给出一道题

【bzoj2049】[Sdoi2008]Cave 洞穴勘测

Description

辉辉热衷于洞穴勘测。某天，他按照地图来到了一片被标记为JSZX的洞穴群地区。经过初步勘测，辉辉发现这片区域由n个洞穴（分别编号为1到n）以及若干通道组成，并且每条通道连接了恰好两个洞穴。假如两个洞穴可以通过一条或者多条通道按一定顺序连接起来，那么这两个洞穴就是连通的，按顺序连接在一起的这些通道则被称之为这两个洞穴之间的一条路径。洞穴都十分坚固无法破坏，然而通道不太稳定，时常因为外界影响而发生改变，比如，根据有关仪器的监测结果，123号洞穴和127号洞穴之间有时会出现一条通道，有时这条通道又会因为某种稀奇古怪的原因被毁。辉辉有一台监测仪器可以实时将通道的每一次改变状况在辉辉手边的终端机上显示：如果监测到洞穴u和洞穴v之间出现了一条通道，终端机上会显示一条指令 Connect u v 如果监测到洞穴u和洞穴v之间的通道被毁，终端机上会显示一条指令 Destroy u v 经过长期的艰苦卓绝的手工推算，辉辉发现一个奇怪的现象：无论通道怎么改变，任意时刻任意两个洞穴之间至多只有一条路径。因而，辉辉坚信这是由于某种本质规律的支配导致的。因而，辉辉更加夜以继日地坚守在终端机之前，试图通过通道的改变情况来研究这条本质规律。然而，终于有一天，辉辉在堆积成山的演算纸中崩溃了……他把终端机往地面一砸（终端机也足够坚固无法破坏），转而求助于你，说道：“你老兄把这程序写写吧”。辉辉希望能随时通过终端机发出指令 Query u v，向监测仪询问此时洞穴u和洞穴v是否连通。现在你要为他编写程序回答每一次询问。已知在第一条指令显示之前，JSZX洞穴群中没有任何通道存在。

Input

第一行为两个正整数n和m，分别表示洞穴的个数和终端机上出现过的指令的个数。以下m行，依次表示终端机上出现的各条指令。每行开头是一个表示指令种类的字符串s（”Connect”、”Destroy”或者”Query”，区分大小写），之后有两个整数u和v (1≤u, v≤n且u≠v) 分别表示两个洞穴的编号。

Output

对每个Query指令，输出洞穴u和洞穴v是否互相连通：是输出”Yes”，否则输出”No”。（不含双引号）

Sample Input

样例输入1 cave.in
200 5
Query 123 127
Connect 123 127
Query 123 127
Destroy 127 123
Query 123 127
样例输入2 cave.in
3 5
Connect 1 2
Connect 3 1
Query 2 3
Destroy 1 3
Query 2 3

Sample Output

样例输出1 cave.out
No
Yes
No
样例输出2 cave.out
Yes
No

HINT

数据说明 10%的数据满足n≤1000, m≤20000 20%的数据满足n≤2000, m≤40000 30%的数据满足n≤3000, m≤60000 40%的数据满足n≤4000, m≤80000 50%的数据满足n≤5000, m≤100000 60%的数据满足n≤6000, m≤120000 70%的数据满足n≤7000, m≤140000 80%的数据满足n≤8000, m≤160000 90%的数据满足n≤9000, m≤180000 100%的数据满足n≤10000, m≤200000 保证所有Destroy指令将摧毁的是一条存在的通道本题输入、输出规模比较大，建议c\c++选手使用scanf和printf进行I\O操作以免超时

  1 #include<cstdio>
  2 #include<algorithm>
  3 #include<cstring>
  4 #include<cmath>
  5 #include<iostream>
  6 
  7 using namespace std;
  8 
  9 const int NN=10007;
 10 
 11 int n,m;
 12 int fa[NN],c[NN][2],st[NN];
 13 bool rev[NN];//标记是否翻转。 
 14 
 15 inline bool isroot(int x)
 16 {
 17     return c[fa[x]][0]!=x&&c[fa[x]][1]!=x;//c表示该splay中左儿子，和右儿子、 
 18 }
 19 void pushdown(int k)
 20 {
 21     int l=c[k][0],r=c[k][1];
 22     if (rev[k])//有标记才反转。 
 23     {
 24         rev[k]^=1,rev[l]^=1,rev[r]^=1;
 25         swap(c[k][0],c[k][1]);
 26     }
 27 }//懒惰标记来记录，翻转、 
 28 void rotate(int x)
 29 {
 30     int y=fa[x],z=fa[y],l,r;
 31     if (c[y][0]==x) l=0;
 32     else l=1;
 33     r=l^1;
 34     if(!isroot(y))//不是总根。 
 35     {
 36         if (c[z][0]==y) c[z][0]=x;
 37         else c[z][1]=x;
 38     }
 39     fa[x]=z,fa[y]=x,fa[c[x][r]]=y;
 40     c[y][l]=c[x][r],c[x][r]=y; 
 41 }
 42 void splay(int x)
 43 {
 44     int top=0; 
 45     st[++top]=x;//记录，为了标记下传。 
 46     for (int i=x;!isroot(i);i=fa[i])
 47         st[++top]=fa[i];
 48     for (int i=top;i!=0;i--)
 49         pushdown(st[i]);
 50     while(!isroot(x))
 51     {
 52         int y=fa[x],z=fa[y];
 53         if(!isroot(y))
 54         {
 55             if (c[y][0]==x^c[z][0]==y) rotate(x);
 56             else rotate(y);
 57         }
 58         rotate(x);
 59     }
 60 }
 61 void access(int x)//打通根到x的路，使之成为一颗splay，但是深度不变。 
 62 {
 63     int t=0;
 64     while(x)
 65     {
 66         splay(x);
 67         c[x][1]=t;//只需要将深度比它低的点断掉，然后不断连下面的有用的边。 
 68         t=x,x=fa[x];
 69     }
 70 }
 71 void makeroot(int x)//变成整棵树的根。 
 72 {
 73     access(x);
 74     splay(x);
 75     rev[x]^=1;//顺序反了以下x的深度也就最小了。 
 76 }
 77 void link(int x,int y)
 78 {
 79     makeroot(x);
 80     fa[x]=y;
 81     splay(x);//维护平衡 
 82 }
 83 void cut(int x,int y)
 84 {
 85     makeroot(x);//深度最小 x一定是原来深度最大的。然后y一定是断开后的splay中深度最小的 
 86     access(y);//y和x属于同一个splay 
 87     splay(y);//y旋转到根，因为x深度最小，y与x有连边，所以y是第二小，也就是x绝对是y的左子树。 
 88     c[y][0]=fa[x]=0;//没有节点比x根的节点更小。 
 89 }
 90 int find(int x)
 91 {
 92     access(x),splay(x);
 93     int y=x;
 94     while(c[y][0]) y=c[y][0];
 95     return y;
 96 }
 97 int main()
 98 {
 99     char c[10];
100     int x,y;
101     scanf("%d%d",&n,&m);
102     for (int i=1;i<=m;i++)
103     {
104         scanf("%s%d%d",c,&x,&y);
105         switch(c[0])
106         {
107             case'C':link(x,y);break;    
108             case'D':cut(x,y);break;
109             case'Q':if(find(x)==find(y)) printf("Yes\n");else printf("No\n");break; 
110         }
111     }
112 }

 

posted @ 2017-09-10 09:53  Kaiser-  阅读(121)  评论(0)  编辑  收藏  举报