树链剖分

树链剖分是树上操作，也就是链的操作，区分重边和轻边，然后使节点编号连续，这样就可以用线段树来维护。

当我们想要修改树上一条路的值或求值时，我们暴力只能用一个个修改，这是非常慢的。这时，我们就要想一个办法，数据结构？但是数据结构我们都需要连续修改，可是树上路径的编号是不连续的。于是我们想了一个办法。
我们先定义
fa[x]为x的父亲
dep[x]为x的深度
size[x]为以x为根的子树的节点个数
几个名词：
1.重边（一个节点的儿子中size最大的点与这个点之间的边）
2.重儿子 x的重儿子记为son[x]（一个节点重边连接的儿子）
3.轻边（一个节点除重儿子外与其他儿子链接的边）
4.轻儿子 （x除重儿子外的儿子）
5.重链（由重边连接而成的链）
6.轻链（由轻边连接而成的链）
然后我们再定义
top[x]为x所在的重链中深度最小的节点（若x不为fa[x]的重儿子则top[x]=x，即自己一个点形成一条重链）

于是我们发现重链上的点标号都是连续的。

并且一颗子树中的编号也是连续的，且子树的根的编号是最小的。

我们举个例子，在这棵树中，son[1]=2（因为size[2]比size[3]和size[4]大）。
1，2，6，9，11构成一条重链；3，7，10构成一条重链。
top[1]=top[2]=top[6]=top[9]=top[11]=1
top[3]=top[7]=top[10]=3
top[5]=5 top[4]=4 top[8]=8
然后又这样一条性质，从根到任意一节点的路径上轻链，重链的个数都不大于logN（N为节点个数）。

现在我们将一条重链上连续标号，建立新的标号（这是为了可以在数据结构中连续修改）。
我们dfs遍历，优先走重儿子，则上面那个图的新标号tid为：
tid[1]=1 tid[2]=2 tid[6]=3 tid[9]=4 tid[11]=5
tid[5]=6
tid[3]=7 tid[7]=8 tid[10]=9
tid[8]=10
tid[4]=11

我们有了新的编号，所有的准备工作都已经完成了。
令操作为修改（求值）u到v的路径。
1. 若top[u]=top[v] 则我们可以直接在线段树中修改（求值）tid[u]~tid[v]（假定tid[u]<=tid[v]）的区间。
2. 若top[u]!=top[v] 不妨设dep[top[u]]>dep[top[v]]则我们可以使u跳到fa[top[u]]的位子，这样我们可以使u离v更近一些，使得u和v尽快跳到一条重链上。并且由于重链的编号是连续的，所以我们只需要修改（求值）tid[top[u]]~tid[u]的区间即可。

我们举个例子：
上图中从10~11，即u=10，v=11，因为dep[top[v]]<dep[top[u]]，那么我们先使u跳到fa[top[10]]=1，然后u和v就在一条重链上了（这里正好重合了），那么我们就可以直接修改了。

这里讲解的比较详细了。

树链剖分主要代码不长，不算上线段树的话，关键在于重新编号。

然后即可以线段树维护了。

void dfs_init(int x)
{
    size[x]=1;
    for (int i=head[x];i!=-1;i=next[i])
    {
        int v=rea[i];
        if (v==fa[x]) continue;
        deep[v]=deep[x]+1;
        fa[v]=x;
        dfs_init(v);
        size[x]+=size[v];
    }
}
void dfs_make(int x,int chain)//chain表示重链首的编号 
{
    int k=0;//找重链 
    sz++;
    pos[x]=sz;//分配编号；
    bl[x]=chain;
    for (int i=head[x];i!=-1;i=next[i])
    {
        int v=rea[i];
        if (deep[v]>deep[x]&&size[v]>size[k]) k=v;
    }
    if (k==0) return;
    dfs_make(k,chain);
    for (int i=head[x];i!=-1;i=next[i])
    {
        int v=rea[i];
        if (deep[v]>deep[x]&&k!=v) dfs_make(v,v);
    }
}