复杂度分析

　　同一个问题可以使用不同的算法解决，那么不同的算法孰优孰劣如何区分呢？因此我们需要一个表示方法来代表每个程序的效率。

 

　　衡量一个程序好坏的标准，一般是运行时间与占用内存两个指标。

　　不过我们在写代码的时候肯定无法去估量程序的执行时间，因为真实的执行时间受到多方面因素的影响，比如同样一段程序，放在高配服务器上跑和放在低配服务器上跑完全是两个表现效果，比如遍历一个数组的函数，执行时间完全取决于调用函数传入的数组大小。

 

　　如何在不运行程序的情况下，判断出代码的执行时间呢？显然是不可能的。

 

　　不过我们虽然无法预估代码的绝对执行时间，但是我们可以预估代码基本的执行次数。

　　一段代码的执行时间如果有变化，则一定是受到外部输入的数据所影响，我们将代码中所有不变的因素，表示为大O，将变化的因素作为基数n，表示为：O(n)，大O的意思是忽略重要项以外的内容，我们常以这种大O表示法来判断比较各种算法的执行效率。

 

　　接下来我会介绍几种常用的复杂度表示方法。

 

　　PS:专业的解释必然全篇都是数学证明，未免太过于复杂，让学者更加迷茫，我这里写的并不是教材，而是最直白的理解。

 

时间复杂度

　　本节中例举的各种时间复杂度以好到差依次排序。

常数时间 O(1)

　　先看下这个函数：

    private static void test(int n)
    {
        int a = 2;
        int b = 3;
        int c = a+b;
        System.out.println(c);
    }

　　一共4行代码，CPU要将a的值写入内存，b的值写入内存，a和b进行计算，将计算结果写入c，最后将c输出到控制台。

　　尽管计算机内部要做这么多事情，这段代码的时间复杂度依然是O(1)，原因是这几行代码所做的操作是固定的，是不变的因素。

 

　　再看下这个函数：

    private static void test(int n)
    {
        for (int i=0;i<100000;i++){
            System.out.println(i);
        }
    }

　　循环10W次，可能你觉得功耗可能有点大，不过它的时间复杂度仍然是O(1)。

 

　　我们可以这么固定的认为：无论接收的参数怎么变化，只要代码执行次数是无变化的，则用1来表示。 凡是O(1)复杂度的代码，通常代表着它是效率最优的方案。

 

对数时间 O(log n)

　　普遍性的说法是复杂度减半，就像纸张对折。

　　示例代码：

    private static void test(int n)
    {
        for (int j=1;j<=n;j=j*2){
            System.out.println(j);
        }
    }

　　这段代码的执行效果并非是一次折半，它是次次折半，以2为底，不断的进行幂运算，实际上只要有幂指数关系的，不管你的底数是几，只要能够对原复杂度进行求幂逆运算我们都可以称之为O(log n)

　　比如：

    private static void test(int n)
    {
        for (int j=1;j<=n;j=j*3){
            System.out.println(j);
        }
    }

　　在忽略系数、常数、底数之后，最后都可以表示为O(log n)，只不过我们遇到的算法几乎不会出现一些极端例外情况，对数时间的所在地常见以二分查找为代表。

 

线性时间 O(n)

　　我们将test方法稍稍修改一下：

    private static void test(int n)
    {
        for (int i=0;i<n;i++){
            System.out.println(i);
        }
    }

　　修改之后这次不是执行10W次，而是执行n次，n是由参数传入的一个未知值，在没有真实运行的时候我们无法判断这个n到底是多少？因为它可以是任意int型数字，你可以这么认为：在理想的情况下，它的复杂度是O(1)，在恶劣的情况下，它的复杂度是无限大。完全取决于方法调用方。

　　直白的说，for循环就是循环n次，因此这段代码的时间复杂度为O(n)，这种复杂度常常表现为线性查找。

 

线性对数时间 O(n log n)

　　线性对数时间也就是线性时间嵌套对数时间：

    private static void t(int n){
        for (int i=0;i<n;i++){
            test(n);
        }
    }
    private static void test(int n)
    {
        for (int j=1;j<=n;j=j*2){
            System.out.println(j);
        }
    }

　　t这个方法的时间复杂度就是O(n log n)。

 

平方时间 O(n^2)

　　平方时间就是执行程序需要的步骤数是输入参数的平方，最常见的是嵌套循环：

    private static void test(int n)
    {
        for (int i=0;i<n;i++){
            for (int j=n;j>0;j--){
                System.out.println(j);
            }
        }
    }

 

其他时间

　　比O(n^2)还要慢的自然有立方级O(n^3)

　　比O(n^3)更慢慢的还有指数级O(2^n)

　　慢到运行一次程序要绕地球三百圈的有O(n!)

 

　　正常情况下我们不会接触到这些类型的算法。

 

空间复杂度

　　所谓空间，就是程序运行占用的内存空间，空间复杂度指的就是执行算法的空间成本。

 

　　这里我们抛一道题来做例子：在一个数组中找出有重复的值，如数组[3,8,13,7,15,8,6,6] 找出8和6。

 

　　解法：

    private static void test(int[] arr)
    {
        for (int i=0;i<arr.length;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(arr[j] == arr[i]){
                    System.out.println("找到了："+arr[i]);
                }
            }
        }
    }

　　很显然：时间复杂度为O(n^2)。

 

　　那我们还可以使用一种更优的解法：

    private static void test(int[] arr)
    {
        HashSet hashSet = new HashSet();
        for (int i=0;i<arr.length;i++){
            if(hashSet.contains(arr[i])){
                System.out.println("找到了："+arr[i]);
            }
            hashSet.add(arr[i]);
        }
    }

　　也许你会惊讶的发现，时间复杂度被优化成了O(n)。

 

　　虽然时间复杂度降低成了O(n)，但是付出的代价是空间复杂度变成了O(n)，因为新的解法使用了一个HashSet来存储数据，存储数据自然要占用内存空间，而占用的空间大小完全取决于传入数组大小。

　　我们之所以说第二种解法更优，其实是一种常规思想，因为现实中绝大部分情况，时间复杂度显然比空间复杂度更为重要，我们宁愿多分配一些存储空间作为代价，来提升程序的执行速度。

 

　　总而言之，比较两个算法优劣的指标有两个，时间复杂度与空间复杂度，优先比较时间复杂度，时间复杂度相同的情况下比较空间复杂度。

 

　　最后：感谢阅读。