背包问题

《算法设计与分析基础》 之 穷举查找

对于背包问题，穷举查找算法对于任何输入都是非常低效率的。

旅行商问题和背包问题是NP困难问题中最著名的例子。

对于NP困难问题，目前没有已知的效率可以用多项式来表示的算法。

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《算法的乐趣》 之 0-1背包问题

0-1 背包问题在题目中隐含了一个条件，就是每个物品只有一件，只能选择 0 个或 1 个，因此得名 0-1 背包问题。

三种常见的贪婪策略

1. 根据物品价值，每次都选价值最高的物品
2. 根据物品重量，每次都选重量最轻的物品
3. 定义价值密度的概念，每次都选价值密度高的物品

以上是解题的第一步，定义数学模型。接下来进行高度抽象。

其实，根据哪个条件来选择物品，归根结底就是根据哪个条件来进行排序。根据既定的顺序，依次将物品取入背包中，但要在每次取之前先判断背包是否还能装得下。

1. 根据物品价值降序

sort(goods.begin(), goods.end(),
	[](const Goods& lhs, const Goods& rhs) {
	return lhs.price > rhs.price;
});

2. 根据物品重量升序

sort(goods.begin(), goods.end(),
	[](const Goods& lhs, const Goods& rhs) {
	return lhs.weight < rhs.weight;
});

3. 根据物品密度升序

sort(goods.begin(), goods.end(),
	[](const Goods& lhs, const Goods& rhs) {
	return (lhs.price / lhs.weight) > (rhs.price / rhs.weight);
});

对于一些能够证明贪婪策略得到的就是最优解的问题，应用贪婪法可以高效地求得结果，比如最小生成树的 Pirm 算法和 Kruskal 算法。

大多数情况下，贪婪法只能得到比较接近最优解的近似最优解。作为一种启发式辅助方法，它常用于其他算法中，比如 Dijkstra 的单源最短路径算法。

在任何算法中，只要在某个阶段使用了只考虑局部最优解情况的选择策略，都可以理解为使用了贪婪算法。

参考资料

《背包九讲》
01背包问题
完全背包问题
多重背包问题
二维费用背包问题