补码与符号位取反

补码与符号位取反

先来一个 C 语言的小例子：

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>

int main(void)
{
    int16_t n = -1;
    n &= 0x7FFF;        // 按位与
    printf("%d", n);    // 这里输出什么？
    return 0;
}

对于16位的整数 n ，按位与运行将最高位设置为0（符号位），得到的结果却不是 1 ，结果是 32767 。

原因在于有符号整数的实现方式。

有符号整数，最容易想到的方式是在最高位加一个符号位，0表示整数，1表示负数，其它位不变（保留原始值），也即是原码方式。但这个方式有一个问题，存在两个0，正0和负0，在计算时需要先判断符号位，然后才能决定用加法还是减法，机器计算不便。

另外一个方法是负数全部按位取反，也就是反码方式。这个运算就相对简单了，进行加法时，按位计算，0和0为0，0为1为1，1和1为0并产生进位，最高位有进位时，结果要加1，减法可处理为其负数的加法。但还是有点问题，还存在两个0，正0和负0。

问题是出现负数上，那么把负数的反码 + 1 ，不就把负0去掉了吗？还真的是这样，而同时负数比整数能多表示一个数（这是基于同余的）。

严格的表达为：

对于位数为 n 的整数，其补码 [x]补 为：(2^n + x) mod 2^n ，
表示的范围为 -2^(n-1) <= n < 2^(n-1) ，注意正数最大为 2^(n-1)-1
即：
当 0 <= x < 2^(n-1) 时，
[x]补 = x 的原码
当 -2^(n-1) <= x < 0 时，
[x]补 = 2^n + x 的原码。

而经验上，可看作负数的补码为其反码加1（特殊数 -2^(n-1) ） 的反码 ：

x < 0 时：
[x]补 = [x]反 + 1
特殊数 [ -2^(n-1) ] = 100...0

它的加法处理非常简单，符号位也可以运行，

[x+y]补 = (2^n + x + y) mod 2^n = ((2^n + x) + (2^n + y)) mod 2^n = [x]补 + [y]补
[x-y]补 = (2^n + x - y) mod 2^n = ... = [x]补 + [-y]补

现在回到原来的问题，对于16位 -1 ，其补码为:

[-1]补 = [-1]反 + 1 = 0xFFFFF

按位与去掉符号位，得到的是 0x7FFF 也就是16位整数最大的正数（ 2^15 - 1） 32767。