算法竞赛入门经典 写题笔记（第五章 图论算法与模型4）
本节内容——
- 网络流问题及常见模型
例题27 我是SAM
说是SAM但是并没有什么关系
给出一个R*C大小的网络，网格上面放了一些目标。可以在网格外发射子弹，子弹会沿着垂直或者水平方向飞行，并且打掉飞行路径上的所有目标。你的任务是计算出最少需要多少子弹，各从哪些位置发射，才能把所有目标全部打掉。（还要输出任意一种合法方案）
就是一个二分图最小覆盖问题，把X坐标（一行）和Y坐标（一列）划分成二分图，如果有一个目标位置为(x,y)，那么连行X和列Y。
然后因为二分图最小点覆盖即最小割，我们直接上dinic即可。
麻烦的是如何输出任意一组最小割方案——
（如果只输出左右端点，不考虑中间连边——即INF时）跑一遍dinic，然后在残量网络上记录done数组，最后一遍bfs左边没有访问到的点和右边访问到的点就是最小割。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#define S 0
#define T n+m+1
#define MAXN 100010
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,m,t,k,top,tot,cnt;
int head[MAXN],cur[MAXN],dis[MAXN],done[MAXN];
int dfn[MAXN],low[MAXN],c[MAXN],st[MAXN],in[MAXN];
struct Edge{int nxt,to,dis;}edge[MAXN<<1];
struct Node{char op;int pos;};
vector<Node>vec;
inline void add(int from,int to,int dis)
{
edge[++t].nxt=head[from],edge[t].to=to,edge[t].dis=dis,head[from]=t;
edge[++t].nxt=head[to],edge[t].to=from,edge[t].dis=0,head[to]=t;
}
inline bool bfs()
{
queue<int>q;
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memcpy(cur,head,sizeof(head));
memset(done,0,sizeof(done));
q.push(S);dis[S]=0;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].to;
if(edge[i].dis&&dis[v]==0x3f3f3f3f)
dis[v]=dis[u]+1,q.push(v),done[v]=1;
}
}
if(dis[T]==0x3f3f3f3f) return false;
return true;
}
inline int dfs(int x,int f)
{
if(!f||x==T) return f;
int used=0,w;
for(int i=cur[x];i;i=edge[i].nxt)
{
cur[x]=i;
int v=edge[i].to;
if(dis[v]==dis[x]+1&&(w=dfs(v,min(f,edge[i].dis))))
{
edge[i].dis-=w,edge[i^1].dis+=w;
f-=w,used+=w;
if(!f) break;
}
}
return used;
}
inline int dinic()
{
int cur_ans=0;
while(bfs()) cur_ans+=dfs(S,(int)1e9);
return cur_ans;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
freopen("ce.out","w",stdout);
#endif
while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)==3)
{
if(n==0&&m==0&&k==0) break;
vec.clear();
memset(head,0,sizeof(head));
t=1,top=tot=cnt=0;
for(int i=1;i<=k;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y+n,INF);//printf("[%d %d] %d\n",x,y+n,INF);
}
for(int i=1;i<=n;i++) add(S,i,1);//printf("[%d %d] %d\n",S,i,1);
for(int i=1;i<=m;i++) add(i+n,T,1);//printf("[%d %d] %d\n",i+n,T,1);
int ans=dinic();
printf("%d ",ans);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!done[i])
{
Node cur;
cur.op='r',cur.pos=i;
vec.push_back(cur);
}
// printf("r%d ",i);
for(int i=1;i<=m;i++)
if(done[i+n])
{
Node cur;
cur.op='c',cur.pos=i;
vec.push_back(cur);
}
// printf("c%d ",i);
for(int i=0;i<vec.size()-1;i++) printf("%c%d ",vec[i].op,vec[i].pos);
printf("%c%d\n",vec[vec.size()-1].op,vec[vec.size()-1].pos);
}
return 0;
}
例题28 保守的老师
翻译自己看去.......
就是4个条件只要满足任意一个就要选取，也就是——4个条件全部不满足只能任选其一。那么我们考虑只要4个条件都不满足，就连一条边，然后跑二分图最大独立集就行了。（可以根据是男生还是女生分成二分图）
二分图最大独立集等于n-最大流。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define S 0
#define T n+1
#define MAXN 100010
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int tt,n,m,t,tot;
int head[MAXN],dis[MAXN],cur[MAXN];
struct Edge{int nxt,to,dis;}edge[MAXN<<1];
struct Node{int a,id;char b;string c,d;}node[MAXN];
inline void add(int from,int to,int dis)
{
// if(from!=S&&to!=T) printf("[%d %d]\n",from,to);
edge[++t].nxt=head[from],edge[t].to=to,edge[t].dis=dis,head[from]=t;
edge[++t].nxt=head[to],edge[t].to=from,edge[t].dis=0,head[to]=t;
}
inline bool bfs()
{
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memcpy(cur,head,sizeof(head));
queue<int>q;
q.push(S);
dis[S]=0;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].to;
if(dis[v]==0x3f3f3f3f&&edge[i].dis)
{
dis[v]=dis[u]+1;
q.push(v);
}
}
}
if(dis[T]==0x3f3f3f3f) return false;
return true;
}
inline int dfs(int x,int f)
{
if(x==T||!f) return f;
int used=0,w;
for(int i=cur[x];i;i=edge[i].nxt)
{
cur[x]=i;
if(dis[edge[i].to]==dis[x]+1&&(w=dfs(edge[i].to,min(f,edge[i].dis))))
{
used+=w,f-=w;
edge[i].dis-=w,edge[i^1].dis+=w;
if(!f) break;
}
}
return used;
}
inline int dinic()
{
int cur_ans=0;
while(bfs()) cur_ans+=dfs(S,INF);
return cur_ans;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
freopen("ce.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d",&tt);
while(tt--)
{
memset(head,0,sizeof(head));
tot=0;
t=1;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>node[i].a>>node[i].b>>node[i].c>>node[i].d;
if(node[i].b=='M') tot++;
}
int num1=1,num2=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(node[i].b=='M')
node[i].id=num1,num1++,add(S,node[i].id,1);
else
node[i].id=num2+tot,num2++,add(node[i].id,T,1);
}
// for(int i=1;i<=n;i++)
// printf("id=%d\n",node[i].id);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
if(i==j) continue;
int flag=0;
if(abs(node[i].a-node[j].a)<=40) flag++;//cout<<1<<endl;
if(node[i].b!=node[j].b) flag++;//cout<<2<<endl;
if(node[i].c==node[j].c) flag++;//cout<<3<<endl;
if(node[i].d!=node[j].d) flag++;//cout<<4<<endl;
if(flag!=4) continue;
if(node[i].b=='M') add(node[i].id,node[j].id,1);
else add(node[j].id,node[i].id,1);
}
}
printf("%d\n",n-dinic());
}
return 0;
}
例题29 出租车
有m个人从城市的不同位置出发，到达它们各自的目的地。已知每个人的出发时间，出发地点和目的地。你的任务是用尽量少的出租车送他们，使得每次出租车接待客人时，至少能提前一分钟到达他所在的位置。注意，为了满足这一条件，要么这个人是这辆出租车接送的第一个人，要么在接送完上一个人后，有足够的时间从上一个目的地开到这里。
就是DAG最小路径覆盖。（点不相交）这个的答案等于节点个数-最大匹配。（具体证明可以看上面知识点的链接）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#define MAXN 100010
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,m,t,S,T,tot,cnt1,cnt2;
int id[100][100],X[MAXN],Y[MAXN],tt[MAXN];
int head[MAXN],done[100][100],dis[2000][2000],dep[MAXN],cur[MAXN];
int move_x[4]={0,0,1,-1},move_y[4]={1,-1,0,0};
char a[100][100];
struct Edge{int nxt,to,dis;}edge[200010];
inline void add(int from,int to,int dis)
{
// printf("[%d %d] %d\n",from,to,dis);
edge[++t].nxt=head[from],edge[t].to=to,edge[t].dis=dis,head[from]=t;
edge[++t].nxt=head[to],edge[t].to=from,edge[t].dis=0,head[to]=t;
}
inline bool bfs()
{
memset(dep,0x3f,sizeof(dep));
memcpy(cur,head,sizeof(head));
queue<int>q;
q.push(S);
dep[S]=0;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].to;
if(dep[v]==0x3f3f3f3f&&edge[i].dis)
{
dep[v]=dep[u]+1;
q.push(v);
}
}
}
if(dep[T]==0x3f3f3f3f) return false;
return true;
}
inline int dfs(int x,int f)
{
if(x==T||!f) return f;
int used=0,w;
for(int i=cur[x];i;i=edge[i].nxt)
{
cur[x]=i;
if(dep[edge[i].to]==dep[x]+1&&(w=dfs(edge[i].to,min(f,edge[i].dis))))
{
used+=w,f-=w;
edge[i].dis-=w,edge[i^1].dis+=w;
if(!f) break;
}
}
return used;
}
inline int dinic()
{
int cur_ans=0;
while(bfs()) cur_ans+=dfs(S,(int)1e9);
return cur_ans;
}
inline void init(int K,int x,int y)
{
memset(done,0,sizeof(done));
queue<int>qx,qy;
memset(dis[K],0x3f,sizeof(dis[K]));
qx.push(x),qy.push(y);
done[x][y]=1;
dis[K][id[x][y]]=0;
while(!qx.empty())
{
int u=qx.front(),v=qy.front();
qx.pop(),qy.pop();
for(int i=0;i<4;i++)
{
int xx=u+move_x[i],yy=v+move_y[i];
if(done[xx][yy]) continue;
done[xx][yy]=1;
if(xx<1||xx>n||yy<1||yy>m||a[xx][yy]!='.') continue;
dis[K][id[xx][yy]]=dis[K][id[u][v]]+1;
qx.push(xx),qy.push(yy);
}
}
}
inline bool check(int x)
{
memset(head,0,sizeof(head));
t=1,S=0,T=50000;
int kkk=n*m;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
if(a[i][j]=='.')
add(S,id[i][j],1);
for(int i=1;i<=cnt2;i++)
{
for(int j=1;j<=x;j++) tt[j]=++kkk;
for(int j=1;j<x;j++) add(tt[j],tt[j+1],INF);
for(int j=1;j<=x;j++) add(tt[j],T,1);
for(int p=1;p<=n;p++)
for(int q=1;q<=m;q++)
if(a[p][q]=='.'&&dis[i][id[p][q]]<=x)
add(id[p][q],tt[dis[i][id[p][q]]],1);
}
int cur_ans=dinic();
if(cur_ans==cnt1) return true;
else return false;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
#endif
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
cin>>a[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
id[i][j]=++tot;
if(a[i][j]=='.') ++cnt1;
if(a[i][j]=='D') ++cnt2,X[cnt2]=i,Y[cnt2]=j;
}
for(int i=1;i<=cnt2;i++) init(i,X[i],Y[i]);
int l=0,r=2000,ans=-1;
while(l<=r)
{
int mid=(l+r)>>1;
// printf("l=%d r=%d mid=%d\n",l,r,mid);
if(check(mid)==true) ans=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
if(ans==-1) printf("impossible\n");
else printf("%d\n",ans);
return 0;
}
例题30 网络扩容
给定一个有向网络，每条边都有一个容量。问是否存在一个从点1到点N(N<=100），流量为C的流。如果不存在，是否可以恰好修改一条弧的容量，使得而存在这样的流？如果可以通过修改达到要求，还需要输出修改的是哪些边。
首先如果最大流就满足大于等于C，那么显然肯定是可以的。否则需要修改的一定要尽可能的小，那么就一定是最小割里面的边（因为最小割等于最大流，其实一条最小割就是它最大流增广路径上的，最小的边，所以一定是通过修改一定在最小割上面的边来使得最大流的增加）。
我们依次更改这些流，然后再跑dinic，看看是否满足题意即可。
但是注意我们修改的一定是初始的容量（所以为奇数的边是不合法的），而且为了不T，要加两个优化——1、求完最大流的时候把流量留着，以后在他的基础上进行增广；2、没有必要每次都求出最大流，增广到流量至少为C的时候停下来就行了。然后还有，因为修改过了之后（变成INF）我们就没有让它流满，所以满流的限制要去了。
哦对了，末尾还要输出一个空行。。。。
最后特别感谢maomao9173帮忙找锅QAQ
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#define int long long
#define S 1
#define T n
#define MAXN 210
#define INF 2147483647
using namespace std;
int n,m,tot,tt=1,top,cnt,flow,kase;
int head[MAXN],low[MAXN],dfn[MAXN],st[MAXN],in[MAXN],c[MAXN],cur[MAXN],dis[MAXN];
struct Edge{int nxt,to,dis;}edge[MAXN*MAXN];
struct Line{int u,v,w;}line[MAXN*MAXN];
struct Node{int u,v;};
vector<Node>ans;
inline bool cmp(struct Node x,struct Node y)
{
if(x.u==y.u) return x.v<y.v;
return x.u<y.u;
}
inline void add(int from,int to,int dis)
{
edge[++tt].nxt=head[from],edge[tt].to=to,edge[tt].dis=dis,head[from]=tt;
edge[++tt].nxt=head[to],edge[tt].to=from,edge[tt].dis=0,head[to]=tt;
}
inline bool bfs()
{
for(int i=0;i<=T;i++) dis[i]=INF;
memcpy(cur,head,sizeof(head));
queue<int>q;
q.push(S);
dis[S]=0;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].to;
if(dis[v]==INF&&edge[i].dis)
{
dis[v]=dis[u]+1;
q.push(v);
}
}
}
if(dis[T]==INF) return false;
return true;
}
inline int dfs(int x,int f)
{
if(x==T||!f) return f;
int used=0,w;
for(int i=cur[x];i;i=edge[i].nxt)
{
cur[x]=i;
if(dis[edge[i].to]==dis[x]+1&&(w=dfs(edge[i].to,min(f,edge[i].dis))))
{
used+=w,f-=w;
edge[i].dis-=w,edge[i^1].dis+=w;
if(!f) break;
}
}
return used;
}
inline int dinic()
{
int cur_ans=0;
while(bfs())
{
cur_ans+=dfs(S,INF);
if(cur_ans>=flow) break;
}
return cur_ans;
}
inline void tarjan(int x)
{
low[x]=dfn[x]=++tot;
in[x]=1,st[++top]=x;
for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].to;
if(edge[i].dis==0) continue;
if(!dfn[v]) tarjan(v),low[x]=min(low[x],low[v]);
else if(in[v]) low[x]=min(low[x],dfn[v]);
}
if(dfn[x]==low[x])
{
int v;cnt++;
do{v=st[top--];in[v]=0;c[v]=cnt;}while(v!=x);
}
}
inline void print()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=head[i];j;j=edge[j].nxt)
printf("[%lld %lld] %lld\n",i,edge[j].to,edge[j].dis);
}
printf("\n");
}
inline void init()
{
memset(head,0,sizeof(head));
tt=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
add(line[i].u,line[i].v,line[i].w);
}
inline void pre()
{
ans.clear();
memset(head,0,sizeof(head));
memset(dfn,0,sizeof(dfn));
memset(low,0,sizeof(low));
memset(in,0,sizeof(in));
memset(c,0,sizeof(c));
tt=1;
tot=top=cnt=0;
}
signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
#endif
while (cin >> n >> m >> flow) {
if(kase!=0) puts("");
if(n==0&&m==0&&flow==0) break;
pre();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld",&line[i].u,&line[i].v,&line[i].w);
add(line[i].u,line[i].v,line[i].w);
}
int ret=dinic();
printf("Case %lld: ",++kase);
if(ret>=flow) {printf("possible");continue;}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i])
tarjan(i);
bool flag=false;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=head[i];j;j=edge[j].nxt)
{
if(j%2==1) continue;
if(c[i]!=c[edge[j].to])
{
init();
edge[j].dis=INF;
if(dinic()>=flow)
ans.push_back((Node){i,edge[j].to}),flag=true;
}
}
if(flag==false) {printf("not possible");continue;}
sort(ans.begin(),ans.end(),cmp);
printf("possible option:");
printf("(%lld,%lld)",ans[0].u,ans[0].v);
for(int i=1;i<ans.size();i++)
printf(",(%lld,%lld)",ans[i].u,ans[i].v);
}
return 0;
}
例题31 运送超级计算机
宇宙中有n个星球，你的任务是用最短的时间把k个超级计算机从星球S运送到星球T。每个超级计算机需要一整艘飞船来运输。行星之间有m条双向隧道，每条隧道需要一天的时间来通过，且不能有两艘飞船同时使用同一条隧道。隧道不会连接两个相同的行星，且每一对行星之间最多只有一条隧道。
如果有解，输出当天移动的飞船数，以及当天编号为i的飞船到达的行星。
假定答案为x，我们把每个点u拆成x+1个，分别对应每天的相应节点。对于原图中的相邻节点a和b，在新图中添加一条从\(a_i\)到\(b_{i+1}\)的边，容量为1,再添加一条\(b_i\)到\(a_{i+1}\)的边，容量也为1。
然后因为可以不移动，所以每个节点都向自己下一个时间的节点连接一条流量为INF的边就行了。
我们逐步增大天数，然后在上次求出来的最大流的基础上继续增广，直到流量达到K。
有一个需要特判：如果在某时刻\(a_i->b_{i+1}\)和\(a_{i+1}->b_i\)同时有流量，是不符合题意的，它们互相抵消，就没有了。我们只处理有一个方向的流量即可。
而这样的话每次T都会改变，那么我们就不要超级源点了，每次都更改T为当前状态的终点即可。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5005;
const int M = 100005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, k, s, t, Day;
int u[N], v[N];
struct Dinic{
int ec, head[N], first[N], que[N], lev[N];
int Next[M], to[M], v[M];
void init() {
ec = 0;
memset(first, -1, sizeof(first));
}
void addEdge(int a,int b,int c) {
to[ec] = b;
v[ec] = c;
Next[ec] = first[a];
first[a] = ec++;
to[ec] = a;
v[ec] = 0;
Next[ec] = first[b];
first[b] = ec++;
}
int BFS() {
int kid, now, f = 0, r = 1, i;
memset(lev, 0, sizeof(lev));
que[0] = s, lev[s] = 1;
while (f < r) {
now = que[f++];
for (i = first[now]; i != -1; i = Next[i]) {
kid = to[i];
if (!lev[kid] && v[i]) {
lev[kid] = lev[now] + 1;
if (kid == t) return 1;
que[r++] = kid;
}
}
}
return 0;
}
int DFS(int now, int sum) {
int kid, flow, rt = 0;
if (now == t || sum == 0) return sum;
for (int i = head[now]; i != -1 && rt < sum; i = Next[i]) {
head[now] = i;
kid = to[i];
if (lev[kid] == lev[now] + 1 && v[i]) {
flow = DFS(kid, min(sum - rt, v[i]));
if (flow) {
v[i] -= flow;
v[i^1] += flow;
rt += flow;
} else lev[kid] = -1;
}
}
return rt;
}
int dinic(int num, int need) {
int ans = 0;
while (BFS()) {
for (int i = 0; i <= num; i++) {
head[i] = first[i];
}
ans += DFS(s, need - ans);
if (ans == need) return ans;
}
return ans;
}
}din;
void input() {
for (int i = 0; i < m; i++) {
scanf("%d %d", &u[i], &v[i]);
}
}
void solve() {
int sum = 0;
Day = 1;
int tt = t;
while (sum < k) { //天数往后加，直到运送的总数到达目标数
for (int i = 1; i <= n; i++) {
din.addEdge((Day - 1) * n + i, Day * n + i, INF);
//表示这一天这艘飞船原地不动
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
din.addEdge((Day - 1) * n + u[i], Day * n + v[i], 1);
//飞船在这一天从u[i]移动到v[i]
din.addEdge((Day - 1) * n + v[i], Day * n + u[i], 1);
//飞船在这一天从v[i]移动到u[i]
}
t = tt + Day * n; //每过一天都要加一层图，所以每天的t点都不一样
sum += din.dinic(Day * n + n, k - sum); //加上这一天到达n星球的飞船数
if (sum == k) break;
Day++;
}
printf("%d\n", Day);
int idx = 0;
vector<int> location(k, s);
for(int d = 1; d <= Day; d++){
idx += n * 2; //每天跳过当天不动的飞船，无需判断
vector<int> moved(k, 0);
vector<int> a, b;
for(int i = 0; i < m; i++){
//每次枚举两个点，为了避免同一天飞船A从u到v，飞船B从v到u
int f1= din.v[idx^1]; //idx^1表示idx点对应的流量
idx += 2;
int f2= din.v[idx^1];
idx += 2;
if(f1 && !f2) { //不能两条边同时有流量
a.push_back(u[i]);
b.push_back(v[i]);
}
if(!f1 && f2) {
a.push_back(v[i]);
b.push_back(u[i]);
}
}
printf("%d", (int)a.size());
for(int i = 0; i < a.size(); i++){
for(int j = 0; j < k; j++) {
if(!moved[j] && location[j] == a[i]){
moved[j] = 1;
printf(" %d %d", j + 1, b[i]);
location[j] = b[i];
break;
}
}
}puts("");
}
}
int main() {
// freopen("ce.in","r",stdin);
// freopen("ce.out","w",stdout);
while (scanf("%d %d %d %d %d", &n, &m, &k, &s, &t) == 5) {
din.init();
input();
solve();
}
return 0;
}
例题32 足球联赛
有n个队伍进行比赛，每个队伍需要打的比赛数目相同。每场比赛都没有平局。给出每个队伍目前的胜利场数和失败场数，以及每两个队伍还剩下的比赛场数。确定所有可能得冠军的球队。（获胜场数最多的得冠军，可以并列）
如果一个队伍在接下来的比赛中都胜利，而且其他队伍可以通过权衡、转化胜利情况，使得获胜场次均不大于该队的获胜场次，那么这个队伍就有可能获得冠军。权衡、转化的过程，往往可以通过最大流来解决。
那么我们考虑建图。先从源点给每支队伍连接它们已经胜利的场次的容量的边，然后给每场比赛都建立一个结点，并向它的参赛队伍连流量为INF的边。然后从源点向比赛连接还要比赛的次数的容量的边。然后给我们当前枚举的点连接它能获胜就获胜的获胜次数，给其他点限制流量，不超过指定点的最大获胜次数。然后如果从S出发的边都满流的话，这种情况就有合法解了——即该队有可能获得冠军。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#define S 0
#define T n*n+n+1
#define MAXN 100010
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,m,t,tt,kase;
int head[MAXN],dis[MAXN],cur[MAXN],win[MAXN],lose[MAXN],sum[30][30],more[MAXN];
struct Edge{int nxt,to,dis;}edge[MAXN<<1];
inline void add(int from,int to,int dis)
{
// printf("[%d %d] %d\n",from,to,dis);
edge[++t].nxt=head[from],edge[t].to=to,edge[t].dis=dis,head[from]=t;
edge[++t].nxt=head[to],edge[t].to=from,edge[t].dis=0,head[to]=t;
}
inline bool bfs()
{
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memcpy(cur,head,sizeof(head));
queue<int>q;
q.push(S);
dis[S]=0;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].to;
if(dis[v]==0x3f3f3f3f&&edge[i].dis)
{
dis[v]=dis[u]+1;
q.push(v);
}
}
}
if(dis[T]==0x3f3f3f3f) return false;
return true;
}
inline int dfs(int x,int f)
{
if(x==T||!f) return f;
int used=0,w;
for(int i=cur[x];i;i=edge[i].nxt)
{
cur[x]=i;
if(dis[edge[i].to]==dis[x]+1&&(w=dfs(edge[i].to,min(f,edge[i].dis))))
{
used+=w,f-=w;
edge[i].dis-=w,edge[i^1].dis+=w;
if(!f) break;
}
}
return used;
}
inline int dinic()
{
int cur_ans=0;
while(bfs()) cur_ans+=dfs(S,INF);
return cur_ans;
}
inline int match(int x,int y){return (x-1)*n+y;}
inline int team(int x){return n*n+x;}
inline bool solve(int x)
{
memset(head,0,sizeof(head));
t=1;
int all=0;
int total=more[x]+win[x];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
if(i==x||j==x) continue;
all+=sum[i][j];
add(S,match(i,j),sum[i][j]);
add(match(i,j),team(i),INF),add(match(i,j),team(j),INF);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(total<win[i]) return false;
add(team(i),T,total-win[i]);
}
// dinic();
// for(int i=head[S];i;i=edge[i].nxt)
// if(edge[i].dis) return false;
// return true;
if(dinic()==all) return true;
return false;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
// freopen("ce.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d",&tt);
while(tt--)
{
memset(more,0,sizeof(more));
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&win[i],&lose[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&sum[i][j]);
more[i]+=sum[i][j];
}
bool flag=false;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(solve(i))
{
if(flag==false) printf("%d",i),flag=true;
else printf(" %d",i);
}
}
puts("");
}
return 0;
}
例题33 收集者的难题
Bob和他的朋友从糖果包装里收集贴纸，这些朋友每人手里都有一些（可能会有重复的）贴纸，并且只和别人交换他所没有的贴纸。贴纸只会一对一交换。
Bob比这些朋友们更聪明，因为他意识到只和别人交换自己没有的贴纸并不总是最优的，在某些情况下，换来一张重复的贴纸更划算。
假设Bob的朋友只和Bob交换（他们之间不交换），并且这些朋友只会出让手里的重复贴纸来交换他们没有的不同贴纸。你的任务是帮助Bob算出他最终可以得到的不太用贴纸的最大数量。
还是那句话，看到转化转换，就想到最大流。
我们用n-1个点表示每个除了Bob之外的人，再用m个点表示每个物品，同时添加一个S和T，从S向每个物品连边，容量为Bob拥有该物品的数量。如果Bob以外的某个人i拥有至少两个物品j，就从i向物品j连边，容量为拥有数量-1。如果i没有物品j，那么就从物品j向i连边，容量为1。最后从物品向T连边，容量为1，跑最大流即可。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#define S 0
#define T n+m
#define MAXN 100010
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,m,t,tt,kase;
int head[MAXN],dis[MAXN],cur[MAXN],sum[30][30];
struct Edge{int nxt,to,dis;}edge[MAXN<<1];
inline void add(int from,int to,int dis)
{
edge[++t].nxt=head[from],edge[t].to=to,edge[t].dis=dis,head[from]=t;
edge[++t].nxt=head[to],edge[t].to=from,edge[t].dis=0,head[to]=t;
}
inline bool bfs()
{
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memcpy(cur,head,sizeof(head));
queue<int>q;
q.push(S);
dis[S]=0;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].to;
if(dis[v]==0x3f3f3f3f&&edge[i].dis)
{
dis[v]=dis[u]+1;
q.push(v);
}
}
}
if(dis[T]==0x3f3f3f3f) return false;
return true;
}
inline int dfs(int x,int f)
{
if(x==T||!f) return f;
int used=0,w;
for(int i=cur[x];i;i=edge[i].nxt)
{
cur[x]=i;
if(dis[edge[i].to]==dis[x]+1&&(w=dfs(edge[i].to,min(f,edge[i].dis))))
{
used+=w,f-=w;
edge[i].dis-=w,edge[i^1].dis+=w;
if(!f) break;
}
}
return used;
}
inline int dinic()
{
int cur_ans=0;
while(bfs()) cur_ans+=dfs(S,(int)1e9);
return cur_ans;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
freopen("ce.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d",&tt);
while(tt--)
{
memset(head,0,sizeof(head));
memset(sum,0,sizeof(sum));
t=1;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int k,x;
scanf("%d",&k);
for(int j=1;j<=k;j++)
{
scanf("%d",&x);
sum[i][x]++;
}
if(i==1)
for(int j=1;j<=m;j++) add(S,j,sum[i][j]);
else
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if(sum[i][j]==0) add(j,i+m-1,1);
if(sum[i][j]>=2) add(i+m-1,j,sum[i][j]-1);
}
}
for(int i=1;i<=m;i++) add(i,T,1);
printf("Case #%d: %d\n",++kase,dinic());
}
return 0;
}
例题34 生产销售规划
某公司生产一种元素。给出该元素在未来M个月中每个月的单位售价，最大产量，生产成本，最大销售量，以及最大储存时间（过期报废，不过可以储存任意多的量）。你的任务是计算出公司能够赚到的最大利润。
不固定流量的最小费用流
方法是寻找增广路的时候，如果dis[T]>0就不增广就行了。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define S 0
#define T 2*n+1
#define MAXN 100010
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define int long long
using namespace std;
int n,m,t=1,c,f,tt,pay,kase;
int head[MAXN],dis[MAXN],done[MAXN],pre_e[MAXN],pre_v[MAXN];
struct Edge{int nxt,to,dis,cost;}edge[MAXN<<1];
inline void add(int from,int to,int dis,int cost)
{
// printf("[%lld %lld] %lld %lld\n",from,to,dis,cost);
edge[++t].nxt=head[from],edge[t].to=to,edge[t].dis=dis,edge[t].cost=cost,head[from]=t;
edge[++t].nxt=head[to],edge[t].to=from,edge[t].dis=0,edge[t].cost=-cost,head[to]=t;
}
inline bool spfa()
{
queue<int>q;
for(int i=0;i<=T;i++) dis[i]=INF;
memset(done,0,sizeof(done));
q.push(S);done[S]=1;dis[S]=0;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();done[u]=0;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].to;
if(dis[v]>dis[u]+edge[i].cost&&edge[i].dis)
{
dis[v]=dis[u]+edge[i].cost;
pre_e[v]=i,pre_v[v]=u;
if(!done[v])
done[v]=1,q.push(v);
}
}
}
if(dis[T]>0) return false;
int flow=INF;
for(int i=T;i!=S;i=pre_v[i]) flow=min(flow,edge[pre_e[i]].dis);
for(int i=T;i!=S;i=pre_v[i]) edge[pre_e[i]].dis-=flow,edge[pre_e[i]^1].dis+=flow;
f+=flow,c+=dis[T]*flow;
return true;
}
signed main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
freopen("ce.out","w",stdout);
#endif
scanf("%lld",&tt);
while(tt--)
{
memset(head,0,sizeof(head));
c=f=0;
t=1;
scanf("%lld%lld",&n,&pay);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int pro_v,pro_sum,sale_v,sale_sum,e;
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&pro_v,&pro_sum,&sale_v,&sale_sum,&e);
add(S,i,pro_sum,pro_v);
add(i+n,T,sale_sum,-sale_v);
add(i,i+n,INF,0);
for(int j=1;j<=e&&i+n+j<=2*n;j++) add(i,i+n+j,INF,pay*j);
}
while(spfa());
printf("Case %lld: %lld\n",++kase,-c);
}
return 0;
}
