算法竞赛入门经典 写题笔记（第五章 图论算法与模型3）
本节内容——
- 生成树相关问题
- 二分图最大匹配
- 二分图最佳完美匹配
- 稳定婚姻问题
例题20 秦始皇修路
秦朝有n(n<=1000)个城市，需要修建一些道路使得任意两个城市之间都可以联通。道士徐福生成他可以用法术修路，不花钱，也不用劳动力，但只能修一条路，因此需要慎重选择法术修建哪一条路。秦始皇不仅希望其他道路的总长度B尽量短（这样可以节省劳动力），还希望法术连接的两个城市的人口之和A尽量大，因此下令寻找一个A/B最大的方案。
我们可以先建立出最小生成树，然后枚举每条边(u,v)，然后删除最小生成树上(u,v)之间的路径上的最大权\(maxcost[u][v]\)。
现在的问题就是如何O(n)的求出来在最小生成树上到一个点的路径上的最大值。而这个也不难，一个dfs就完事了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define MAXN 2010
using namespace std;
int n,m,t,T,cnt;
int head[MAXN],fa[MAXN];
double maxx[MAXN][MAXN];
struct Edge{int nxt,to;double dis;}edge[MAXN*MAXN];
struct Node{int x,y,w;}node[MAXN];
struct Line{int u,v;double dis;}line[MAXN*MAXN];
inline void add(int from,int to,double dis)
{edge[++t].nxt=head[from],edge[t].to=to,edge[t].dis=dis,head[from]=t;}
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
inline bool cmp(Line x,Line y){return x.dis<y.dis;}
inline double dist(int a,int b)
{return sqrt((node[a].x-node[b].x)*(node[a].x-node[b].x)+(node[a].y-node[b].y)*(node[a].y-node[b].y));}
inline void init(int now,int x,int pre,double cur_ans)
{
maxx[now][x]=cur_ans;
for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].to;
if(v==pre) continue;
init(now,v,x,max(cur_ans,edge[i].dis));
}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
#endif
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
memset(head,0,sizeof(head));
t=cnt=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d%d",&node[i].x,&node[i].y,&node[i].w);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
line[++cnt]=(Line){i,j,dist(i,j)};
sort(&line[1],&line[cnt+1],cmp);
// for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("dis[%d]=%.2lf\n",i,line[i].dis);
// cout<<endl;
int sum=0;
double all=0.0;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
int a=find(line[i].u),b=find(line[i].v);
// printf("u=%d v=%d a=%d b=%d\n",line[i].u,line[i].v,a,b);
if(a==b) continue;
fa[a]=b;
sum++;
all+=line[i].dis;
add(line[i].u,line[i].v,line[i].dis),add(line[i].v,line[i].u,line[i].dis);
if(sum==n-1) break;
}
// printf("all=%.2lf\n",all);
for(int i=1;i<=n;i++) init(i,i,-1,0);
// for(int i=1;i<=n;i++)
// for(int j=i+1;j<=n;j++)
// printf("maxx[%d][%d]=%2.lf\n",i,j,maxx[i][j]);
double ans=0.0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
ans=max(ans,1.0*(node[i].w+node[j].w)/(all-maxx[i][j]));
printf("%.2lf\n",ans);
}
return 0;
}
例题21 邦德
有n座城市通过m条双向道路相连，每条道路都有一个危险系数。你的任务是回答若干个询问，每个询问包含一个起点s和一个终点t，要求找到一条从s到t的路，使得途径所有边的最大危险系数最小。
求最小瓶颈路。我们还可以按照上面那个题的思想，在dfs的时候更新到一个点的最值。
但是这样子是\(O(n^2)\)的。
看到数据范围想到\(log\)的时间复杂度——数据结构？好像不星啊。那就倍增吧......
挺好写的
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define MAXN 100010
using namespace std;
int n,m,t,q,kase;
int head[MAXN],fa[MAXN][20],maxx[MAXN][20],dep[MAXN],ff[MAXN];
struct Edge{int nxt,to,dis;}edge[MAXN<<1];
struct Line{int u,v,w;}line[MAXN<<1];
inline int find(int x){return x==ff[x]?x:ff[x]=find(ff[x]);}
inline bool cmp(struct Line x,struct Line y){return x.w<y.w;}
inline void add(int from,int to,int dis)
{
edge[++t].nxt=head[from],edge[t].to=to,edge[t].dis=dis,head[from]=t;
edge[++t].nxt=head[to],edge[t].to=from,edge[t].dis=dis,head[to]=t;
}
inline void dfs(int x,int pre)
{
dep[x]=dep[pre]+1;
for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].to;
if(v==pre) continue;
maxx[v][0]=edge[i].dis;
fa[v][0]=x;
dfs(v,x);
}
}
inline void init()
{
for(int j=1;j<=19;j++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
// printf("maxx[%d][%d]=max(%d %d)\n",i,j,maxx[i][j-1],maxx[fa[i][j-1]][j-1]);
maxx[i][j]=max(maxx[i][j-1],maxx[fa[i][j-1]][j-1]);
}
}
// for(int i=1;i<=n;i++)
// for(int j=0;j<=2;j++)
// printf("fa[%d][%d]=%d maxx[%d][%d]=%d\n",i,j,fa[i][j],i,j,maxx[i][j]);
}
inline int query(int x,int y)
{
// printf("x=%d y=%d\n",x,y);
int cur_ans=0;
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
int cur=dep[x]-dep[y];
for(int i=19;i>=0;i--)
if(cur&(1<<i))
{
cur_ans=max(cur_ans,maxx[x][i]),x=fa[x][i];
// printf("cur_ans=%d x=%d\n",cur_ans,x);
}
if(x==y) return cur_ans;
for(int i=19;i>=0;i--)
{
if(fa[x][i]!=fa[y][i])
{
cur_ans=max(cur_ans,maxx[x][i]);
cur_ans=max(cur_ans,maxx[y][i]);
x=fa[x][i],y=fa[y][i];
}
}
cur_ans=max(cur_ans,maxx[x][0]);
cur_ans=max(cur_ans,maxx[y][0]);
return cur_ans;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
#endif
while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
{
if(kase==0) kase++;
else puts("");
memset(head,0,sizeof(head));
memset(fa,0,sizeof(fa));
memset(maxx,0,sizeof(maxx));
memset(dep,0,sizeof(dep));
t=0;
for(int i=1;i<=n;i++) ff[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d%d",&line[i].u,&line[i].v,&line[i].w);
sort(&line[1],&line[m+1],cmp);
int sum=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int a=find(line[i].u),b=find(line[i].v);
if(a!=b)
{
ff[a]=b;
sum++;
add(line[i].u,line[i].v,line[i].w);
if(sum==n-1) break;
}
}
// for(int i=1;i<=n;i++)
// {
// cout<<"i="<<i<<" ";
// for(int j=head[i];j;j=edge[j].nxt)
// cout<<edge[j].to<<" ";
// cout<<endl;
// }
dfs(1,0);
init();
scanf("%d",&q);
while(q--)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",query(x,y));
}
}
return 0;
}
例题22 比赛网络
你需要花费步超过cost元来搭建一个比赛网络。网络中有n台机器，编号为0~n-1，其中机器0为服务器，其他机器为客户机。一共有m条可以使用的网线，其中第i条网线的发送端是机器\(u_i\)，接受端是机器\(v_i\)（数据只能从机器\(u_i\)单向传输到机器\(v_i\)），带宽为\(b_i Kbps\)，费用为\(c_i\)元。每台客户机应当恰好从一台机器接受数据（即恰好有一条网线的接受端是该机器），而服务器不应从任何机器接受数据。你的任务是最大化网络中的最小带宽。
嘛.....就是二分带宽+最小有向生成树（最小树形图）判断.......
不会最小树形图的可以去我的学习笔记里面看OI树上问题 简单学习笔记QAQ
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 100010
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int cost,T,ans;
int top[MAXN],id[MAXN],minn[MAXN],fa[MAXN];
struct Edge{int u,v,dis,id,c;}edge[MAXN<<1],pre[MAXN<<1];
inline bool solve(int n,int m,int root)
{
ans=0;
while(233)
{
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=top[i]=fa[i]=0,minn[i]=INF;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u=edge[i].u,v=edge[i].v;
if(u!=v&&edge[i].dis<minn[v])
fa[v]=u,minn[v]=edge[i].dis;
}
minn[root]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(minn[i]==INF) return false;
ans+=minn[i];
int u;
for(u=i;u!=root&&top[u]!=i&&!id[u];u=fa[u]) top[u]=i;
if(u!=root&&!id[u])
{
id[u]=++cnt;
for(int v=fa[u];v!=u;v=fa[v]) id[v]=cnt;
}
}
if(!cnt) return true;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!id[i])
id[i]=++cnt;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u=edge[i].u,v=edge[i].v;
int last=minn[v];
if((edge[i].u=id[u])!=(edge[i].v=id[v]))
edge[i].dis-=last;
}
n=cnt,root=id[root];
}
}
inline bool check(int n,int m,int x)
{
int kkk=0;
ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
if(pre[i].c>=x) edge[++kkk]=pre[i];
// printf("x=%d\n",x);
// for(int i=1;i<=kkk;i++)
// printf("%d %d %d %d\n",edge[i].u,edge[i].v,edge[i].c,edge[i].dis);
if(solve(n,kkk,1)==false) return false;
// printf("ans=%d\n",ans);
if(ans<=cost) return true;
else return false;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
#endif
scanf("%d",&T);
int m,n;
while(T--)
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&cost);
// printf("n=%d m=%d cost=%d\n",n,m,cost);
int l=INF,r=0,ansans=-1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d%d",&pre[i].u,&pre[i].v,&pre[i].c,&pre[i].dis);
// printf("%d d %d %d\n",pre[i].u,pre[i].v,pre[i].c,pre[i].dis);
pre[i].u++,pre[i].v++;
l=min(l,pre[i].c);
r=max(r,pre[i].c);
}
// printf("l=%d r=%d\n",l,r);
while(l<=r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(check(n,m,mid)) ansans=mid,l=mid+1;
else r=mid-1;
}
if(ansans==-1) printf("streaming not possible.\n");
else printf("%d kbps\n",ansans);
}
return 0;
}
例题23 蚂蚁
给出n个白点和n个黑点的坐标，要求用n条不相交的线段把它们连接起来，其中每条线段恰好连接一个白点和一个黑点，每个点恰好连接到一条线段。
对于二维平面上的点，如果要用不相交的线连起来，最后线段总长度最小的方案（即二分图最佳完美匹配）就是解
题面pdf上的样例输出给错了。
我用的dinic跑的。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define MAXN 310
#define INF 1e9
#define S 0
#define T 2*n+1
using namespace std;
int n,m,t=1,c;
int head[MAXN],cur[MAXN],done[MAXN],pre_e[MAXN],pre_v[MAXN];
double f;
double dis[MAXN];
struct Edge{int nxt,to,dis;double cost;}edge[MAXN*MAXN*2];
struct Node{int x,y;}node[MAXN];
inline double dist(int a,int b){
return sqrt(1.0*(node[a].x-node[b].x)*(node[a].x-node[b].x)+1.0*(node[a].y-node[b].y)*(node[a].y-node[b].y));
}
inline void add(int from,int to,int dis,double cost)
{
edge[++t].nxt=head[from],edge[t].to=to,edge[t].dis=dis,edge[t].cost=cost,head[from]=t;
edge[++t].nxt=head[to],edge[t].to=from,edge[t].dis=0,edge[t].cost=-cost,head[to]=t;
}
inline bool spfa()
{
queue<int>q;
for(int i=0;i<=T;i++) dis[i]=1e9;
memset(done,0,sizeof(done));
q.push(S);dis[S]=0;done[S]=1;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();done[u]=0;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].to;
if(edge[i].dis>0.0&&dis[u]+edge[i].cost<dis[v])
{
dis[v]=dis[u]+edge[i].cost;
pre_e[v]=i,pre_v[v]=u;
if(!done[v])
q.push(v),done[v]=1;
}
}
}
if(dis[T]>=1e9) return false;
int flow=0x3f3f3f3f;
for(int i=T;i!=S;i=pre_v[i]) flow=min(flow,edge[pre_e[i]].dis);
for(int i=T;i!=S;i=pre_v[i]) edge[pre_e[i]].dis-=flow,edge[pre_e[i]^1].dis+=flow;
f+=flow;
c+=flow*dis[T];
return true;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
#endif
while(scanf("%d",&n)==1)
{
memset(head,0,sizeof(head));
t=1;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&node[i].x,&node[i].y);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&node[i+n].x,&node[i+n].y);
for(int i=1;i<=n;i++) add(S,i,1,0);//printf("[%d %d] 1 0\n",S,i);
for(int i=1;i<=n;i++) add(i+n,T,1,0);//printf("[%d %d] 1 0\n",i+n,T);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
add(i,j+n,1,dist(i,j+n));//printf("[%d %d] 1 %.2lf\n",i,j+n,dist(i,j+n));
while(spfa());
// printf("c=%d f=%.2lf\n",c,f);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=head[i];j;j=edge[j].nxt)
{
if(edge[j].dis==0&&edge[j].to!=S)
{
printf("%d\n",edge[j].to-n);
break;
}
}
}
}
return 0;
}
例题24 少林决胜
给定一个N*N的矩阵，每个格子里都有一个正整数\(w(i,j)\)。你的任务是给定每行确定一个整数\(row(i)\)，每列也确定一个整数\(col(i)\)，使得对于任意格子\((i,j)\)，\(w(i,j)\le row(i)+col(j)\)。所有row(i)和col(i)之和应当尽量小。
“还记得KM算法里面的\(l(x)+l(y)>=w(x,y)\)吗？算法结束结束后，所有顶标和是最小的。”
......
于是跑一遍KM就行了QAQ
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define MAXN 510
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,kase,ans;
int w[MAXN][MAXN],lx[MAXN],ly[MAXN],to[MAXN];
bool S[MAXN],T[MAXN];
inline int match(int x)
{
S[x]=true;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(lx[x]+ly[j]==w[x][j]&&!T[j])
{
T[j]=true;
if(!to[j]||match(to[j]))
{
to[j]=x;
return true;
}
}
return false;
}
inline void update()
{
int d=INF;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(S[i])
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!T[j])
d=min(d,lx[i]+ly[j]-w[i][j]);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(S[i]) lx[i]-=d;
if(T[i]) ly[i]+=d;
}
}
inline void KM()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
lx[i]=ly[i]=to[i]=0;
for(int j=1;j<=n;j++) lx[i]=max(lx[i],w[i][j]);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(233)
{
for(int j=1;j<=n;j++) S[j]=T[j]=0;
if(match(i)) break;
else update();
}
}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
#endif
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&w[i][j]);
KM();
for(int i=1;i<n;i++) printf("%d ",lx[i]),ans+=lx[i];
printf("%d\n",lx[n]),ans+=lx[n];
for(int i=1;i<n;i++) printf("%d ",ly[i]),ans+=ly[i];
printf("%d\n",ly[n]),ans+=ly[n];
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
例题25 固定分区内存管理
感觉和这个题差不多。
不过还要输出调度方案......具体请看代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#define MAXN 60
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,m,nm,kase;
int start[MAXN],belong[MAXN];
int runtime[MAXN][MAXN],w[MAXN*10][MAXN*10];
int head[MAXN],siz[MAXN],s[MAXN],t[MAXN],number[MAXN];
int l[MAXN*10],lx[MAXN*10],ly[MAXN*10];
bool S[MAXN*10],T[MAXN*10];
vector<int>G[MAXN*10];
inline void add(int from,int to,int dis)
{
// printf("[%d %d] %d\n",from,to,dis);
G[from].push_back(to);
w[from][to]=dis;
}
inline bool match(int x)
{
S[x]=true;
for(int i=0;i<G[x].size();i++)
{
int v=G[x][i];
if(lx[x]+ly[v]==w[x][v]&&!T[v])
{
T[v]=true;
if(!l[v]||match(l[v]))
{
l[v]=x;
return true;
}
}
}
return false;
}
inline void update()
{
int d=INF;
for(int i=1;i<=nm;i++)
if(S[i])
for(int cur=0;cur<G[i].size();cur++)
{
int j=G[i][cur];
if(!T[j])
d=min(d,lx[i]+ly[j]-w[i][j]);
}
for(int i=1;i<=nm;i++)
{
if(S[i]) lx[i]-=d;
if(T[i]) ly[i]+=d;
}
}
inline void solve()
{
for(int i=1;i<=nm;i++)
{
lx[i]=ly[i]=l[i]=0;
for(int j=1;j<=nm;j++)
if(w[i][j]>lx[i])
lx[i]=w[i][j];
}
for(int i=1;i<=nm;i++)
{
while(233)
{
for(int j=1;j<=nm;j++) S[j]=T[j]=0;
if(match(i)) break;
else update();
}
}
}
inline void print()
{
int all_time=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
vector<int>programs;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
int r=n*(i-1)+j;
int cur=l[r];
if(cur>n) break;
programs.push_back(cur);
belong[cur]=i;
all_time-=w[cur][r];
}
reverse(programs.begin(),programs.end());
int cur_time=0;
for(int j=0;j<programs.size();j++)
{
start[programs[j]]=cur_time;
cur_time+=runtime[programs[j]][i];
}
}
printf("Case %d\n",++kase);
printf("Average turnaround time = %.2lf\n",(double)all_time/n);
for (int i=1;i<=n;i++)
printf("Program %d runs in region %d from %d to %d\n",i,belong[i],start[i],start[i]+runtime[i][belong[i]]);
printf("\n");
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
#endif
while(scanf("%d%d",&m,&n)==2)
{
if(n==0&&m==0) break;
nm=n*m;
for(int i=1;i<=nm;i++) G[i].clear();
memset(w,0,sizeof(w));
for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&siz[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&number[i]);
for(int j=1;j<=number[i];j++) scanf("%d%d",&s[j],&t[j]);
for(int j=1;j<=m;j++)
{
runtime[i][j]=-1;
if(siz[j]<s[1]) continue;
for(int k=1;k<=number[i];k++)
{
if(siz[j]<s[k+1]||k==number[i])
{runtime[i][j]=t[k];break;}
}
}
}
// for(int i=1;i<=n;i++)
// for(int j=1;j<=m;j++)
// printf("runtime[%d][%d]=%d\n",i,j,runtime[i][j]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
if(runtime[i][j]!=-1)
for(int k=1;k<=n;k++)
add(i,(j-1)*n+k,-runtime[i][j]*k);
for(int i=n+1;i<=nm;i++)
for(int j=1;j<=nm;j++)
add(i,j,1);
solve();
print();
}
return 0;
}
例题26 女士的选择
稳定婚姻模板题
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define MAXN 1010
using namespace std;
int T,n,kase;
int to_girl[MAXN],to_boy[MAXN];
int a[MAXN][MAXN],order[MAXN][MAXN],nxt[MAXN];
queue<int>q;
inline void solve(int x,int y)
{
int cur=to_boy[y];
if(cur)
{
to_girl[cur]=0;
q.push(cur);
}
to_girl[x]=y,to_boy[y]=x;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("ce.in","r",stdin);
#endif
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
while(!q.empty()) q.pop();
memset(to_girl,0,sizeof(to_girl));
memset(to_boy,0,sizeof(to_boy));
if(!kase) kase++;
else printf("\n");
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
nxt[i]=1;
q.push(i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
int x;
scanf("%d",&x);
order[i][x]=j;
}
while(!q.empty())
{
int now=q.front();q.pop();
int now_to=a[now][nxt[now]++];
if(!to_boy[now_to]||order[now_to][now]<order[now_to][to_boy[now_to]])
solve(now,now_to);
else q.push(now);
}
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",to_girl[i]);
}
return 0;
}
