CRT和EXCRT简单学习笔记

中国剩余定理CRT

中国剩余定理是要求我们解决这样的一类问题：

\[\begin{cases}x\equiv a_1\pmod {b_1} \\x\equiv a_2 \pmod{b_2}\\...\\x\equiv a_n\pmod{b_n} \end{cases} \]

其中\(b_1,b_2,...,b_n\)互质。

我们先令\(m=\prod_{i=1}^{n}b_i,w_i=m/b_i\)

那么有\(gcd(m,w_i)==1\)

我们对于\(w_ix'+my'= 1\)解出来\(x',y'\)后

\(w_ix'a_i\equiv a_i\pmod {b_i}\)

所以现在就相当于解\(n=\sum_{i=1}^n w_ix'a_i\pmod m\)

一道例题 TJOI2009猜数字

题目链接：戳我

CRT的模板
有两点需要注意——一个是输入的数可能会有负数，二是乘法的时候可能会乘爆，需要用快速乘qwq

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define MAXN 1010
using namespace std;
int n;
long long a[MAXN],b[MAXN];
inline ll fmul(ll x,ll y,ll mod)
{
	ll cur_ans=0;
	while(y>0)
	{
		if(y&1)cur_ans=(cur_ans+x)%mod;
		x=(x+x)%mod;
		y>>=1;
	}
	return cur_ans;
}
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0){y=0,x=1;return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int cur=x;
	x=y;
	y=cur-a/b*y;
}
inline ll china()
{
	long long M=1,cur_ans=0,x,y;
	for(int i=1;i<=n;i++) M*=b[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		long long w=M/b[i];
		exgcd(w,b[i],x,y);
		x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
		cur_ans=(cur_ans+fmul(fmul(w,x,M),a[i],M))%M;
	} 
	return (cur_ans+M)%M;
}
int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("ce.in","r",stdin);
	#endif
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&b[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=(a[i]%b[i]+b[i])%b[i];
	printf("%lld\n",china());
	return 0;
}

---

拓展中国剩余定理EXCRT

就是\(b_i\)不互质版本的......但是和中国剩余定理好像没有太大的关系qwq
我们假设已经解决了前k-1个方程，他们的解为ans，设\(m=\prod_{i=1}^{k-1}b_i\)。那么我们可以确定前k-1个方程的通解是\(ans+t*m\)。

现在的任务就是寻找一个t，使得\(ans+t*m\equiv a_i\pmod{b_i}\)

也就是\(t*m\equiv a_i-ans\pmod{b_i}\)

其实就是解\(a\equiv b\pmod {p}\)即\(ax+py=b\)的\(x',y'\)的解。

\(t=x'/gcd(m,b_i)*(a_i-ans)\)

\(ans=(ans+tm)\mod (\prod_{i=1}^{k-1}b_i)\)

一道模板

题目链接：戳我

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 100010
#define ll long long
using namespace std;
int n;
long long a[MAXN],b[MAXN];
inline ll fmul(ll x,ll y,ll mod)
{
	ll cur_ans=0;
	while(y)
	{
		if(y&1) cur_ans=(cur_ans+x)%mod;
		x=(x+x)%mod;
		y>>=1;
	}
	return cur_ans;
}
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		y=0,x=1;
		return a;
	}
	ll ans=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll cur=x;
	x=y;
	y=cur-(a/b)*y;
	return ans;
}
inline void solve()
{
	ll ans=a[1],m=b[1],x,y;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		ll B=((a[i]-ans)%b[i]+b[i])%b[i];
		ll gcd=exgcd(m,b[i],x,y);
		x=fmul(x,B/gcd,b[i]);
		ans+=x*m;
		m*=b[i]/gcd;
		ans=(ans+m)%m;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("ce.in","r",stdin);
	#endif
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&b[i],&a[i]);
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld %lld\n",a[i],b[i]);
	solve();
	return 0;
}