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CRT和EXCRT简单学习笔记

中国剩余定理CRT

中国剩余定理是要求我们解决这样的一类问题:

{xa1(modb1)xa2(modb2)...xan(modbn)

其中b1,b2,...,bn互质。

我们先令m=ni=1bi,wi=m/bi

那么有gcd(m,wi)==1

我们对于wix+my=1解出来x,y

wixaiai(modbi)

所以现在就相当于解n=ni=1wixai(modm)

一道例题 TJOI2009猜数字

题目链接:戳我

CRT的模板
有两点需要注意——一个是输入的数可能会有负数,二是乘法的时候可能会乘爆,需要用快速乘qwq

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define MAXN 1010
using namespace std;
int n;
long long a[MAXN],b[MAXN];
inline ll fmul(ll x,ll y,ll mod)
{
	ll cur_ans=0;
	while(y>0)
	{
		if(y&1)cur_ans=(cur_ans+x)%mod;
		x=(x+x)%mod;
		y>>=1;
	}
	return cur_ans;
}
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0){y=0,x=1;return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int cur=x;
	x=y;
	y=cur-a/b*y;
}
inline ll china()
{
	long long M=1,cur_ans=0,x,y;
	for(int i=1;i<=n;i++) M*=b[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		long long w=M/b[i];
		exgcd(w,b[i],x,y);
		x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
		cur_ans=(cur_ans+fmul(fmul(w,x,M),a[i],M))%M;
	} 
	return (cur_ans+M)%M;
}
int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("ce.in","r",stdin);
	#endif
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&b[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=(a[i]%b[i]+b[i])%b[i];
	printf("%lld\n",china());
	return 0;
}

拓展中国剩余定理EXCRT

就是bi不互质版本的......但是和中国剩余定理好像没有太大的关系qwq
我们假设已经解决了前k-1个方程,他们的解为ans,设m=k1i=1bi。那么我们可以确定前k-1个方程的通解是ans+tm

现在的任务就是寻找一个t,使得ans+tmai(modbi)

也就是tmaians(modbi)

其实就是解ab(modp)ax+py=bx,y的解。

t=x/gcd(m,bi)(aians)

ans=(ans+tm)mod(k1i=1bi)

一道模板

题目链接:戳我

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 100010
#define ll long long
using namespace std;
int n;
long long a[MAXN],b[MAXN];
inline ll fmul(ll x,ll y,ll mod)
{
	ll cur_ans=0;
	while(y)
	{
		if(y&1) cur_ans=(cur_ans+x)%mod;
		x=(x+x)%mod;
		y>>=1;
	}
	return cur_ans;
}
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		y=0,x=1;
		return a;
	}
	ll ans=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll cur=x;
	x=y;
	y=cur-(a/b)*y;
	return ans;
}
inline void solve()
{
	ll ans=a[1],m=b[1],x,y;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		ll B=((a[i]-ans)%b[i]+b[i])%b[i];
		ll gcd=exgcd(m,b[i],x,y);
		x=fmul(x,B/gcd,b[i]);
		ans+=x*m;
		m*=b[i]/gcd;
		ans=(ans+m)%m;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("ce.in","r",stdin);
	#endif
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&b[i],&a[i]);
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld %lld\n",a[i],b[i]);
	solve();
	return 0;
} 
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