HAOI2018 苹果树

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代码不难写，我在这里就口胡一下解法好了。。。。

首先我们考虑如何求出一棵树上两两点之间的距离呢？由于树，我们可以转化为求边的贡献。那么从这一条边断成两半，一边是它连接的节点的子树，一边是剩余的节点，它对总值的贡献就是\(siz[i]*(n-siz[i])\)了。

假设当前处理到了节点\(i\)，那么显然当前树的构建方案有\(i!\)种，之后的节点有两种选择，一种是连接到这个节点的子树中，一种不是。

先来考虑第一种，假设这个节点的子树大小（排除掉他自己）是\(k\)，那么这\(k\)个节点的选择方案有\(C_{n-i}^k\)种，然后再乘上构树方案数\(k!\)（二叉树的构建种类数，不理解的可以画图qwq），答案就是\(C_{n-i}^k*k!\)

现在再来考虑第二种，因为我们已经有了\(k\)个节点到节点i的子树里面了，所以现在还有\(n-i-k\)个节点，它们就不能再放进i的子树中了。方案数为\(i\times (i-1)\times ...\times (i+n-i-k-1)\)，所以答案就是\(\frac{(n-k-1)!}{(i-1)!}\)种。

最后别忘了当前点i与我们考虑生成的它的子树和它的连边方式，还有连成左儿子和右儿子两种，所以还要乘上2 qwq。

总答案\(\sum_{i=1}^n i!*2*\sum_{k=1}^{n-i}size*(n-size)*C_{n-i}^k*k!*\frac{(n-k-1)!}{(i-1)!}\)

看题解大佬说这道题的分割考虑思想，其实是序列问题上一种很常见的套路，就是找一个点或者边作为分界，然后两边算完之后乘起来就是答案qwq