HAOI2011 向量

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其实我们观察一下这八个衍生的向量，可以知道本质上它们只有4个。

即\((a,b),(-a,b),(b,a),(b,-a)\)。

之后就是

\[\begin{cases} an+am+bp+bq=x\\ bn-bm+ap-aq=y \end{cases} \]

合并同类项——

\[\begin{cases}(n+m)a+(p+q)b=x\\(p-q)a+(n-m)b=y\end{cases} \]

之后裴蜀定理，存在整数解的充要条件是\(gcd(a,b)|x\)&&\(gcd(a,b)|y\)。

但是注意这个只是\((n+m),(n-m),(p+q),(p-q)\)有整数解的判断！具体的我们还需要它们对应的，同奇偶！

所以分类讨论——

• 都是偶数

\[\begin{cases}\frac{n+m}{2}a+\frac{p+q}{2}b=\frac{x}{2}\\\frac{p-q}{2}a+\frac{n-m}b=\frac{y}{2}\end{cases} \]

\(gcd(2*a,2*b)|x\) and \(gcd(2*a,2*b)|y\)

• 一奇一偶（这里以n+m和n-m为奇数为例）

\[\begin{cases}\frac{n+m+1}{2}a+\frac{p+q}{2}b=\frac{x+a}{2}\\\frac{p-q}{2}a+\frac{n-m+1}b=\frac{y+b}{2}\end{cases} \]

\(gcd(2*a,2*b)|(x+a)\) and \(gcd(2*a,2*b)|(y+b)\)
or
\(gcd(2*a,2*b)|(x+y)\) and \(gcd(2*a,2*b)|(y+a)\)

• 两奇

\[\begin{cases}\frac{n+m+1}{2}a+\frac{p+q+1}{2}b=\frac{x+a+b}{2}\\\frac{p-q+1}{2}a+\frac{n-m+1}b=\frac{y+a+b}{2}\end{cases} \]

\(gcd(2*a+2*b)|(x+a+b)\) and \(gcd(2*a+2*b)|(y+a+b)\)

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n; 
long long a,b,x,y;
inline long long gcd(long long x,long long y){return y==0?x:gcd(y,x%y);}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("ce.in","r",stdin);
    #endif
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&x,&y);
        long long cur2=gcd(2*a,2*b);
        if(x%cur2==0&&y%cur2==0) printf("Y\n");
        else if((x+a)%cur2==0&&(y+b)%cur2==0) printf("Y\n");
        else if((x+b)%cur2==0&&(y+a)%cur2==0) printf("Y\n");
        else if((x+a+b)%cur2==0&&(y+a+b)%cur2==0) printf("Y\n");
        else printf("N\n");
    }
    return 0;
}