OI网络流 简单学习笔记

持续更新！

基本上只是整理了一下框架qwq。

。。怎么说呢，最基础的模板我就我不说了吧qwq，具体可以参考一下这位大佬写的博客：最大流，最小割，费用流

费用流

跑最大费用流的时候可以把边权都变成负的，然后按照原先的方法跑最小费用流即可。
每个点只能经过一次的时候，就拆点，然后两个点之间连容量为1费用为0的边。连路径的时候，强制从v'向u连边。

经典费用流模型

  • 连续M个元素最多选K个
    给你N个元素，每个元素都有一个权值ai（可正可负），要求从中你选出一些，满足对于任意相邻的M个元素当中最多只有K个元素被选出，使得总权值最大。
    BZOJ1283 序列

二分图

设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

判定二分图：黑白染色，如果有矛盾，就不是二分图。

如果进行到最后都没有矛盾，那就是二分图。
或者说，如果一个图里面没有奇环，就是二分图。

树是一个二分图。

二分图最大匹配


就是一个二分图中最多能够匹配的对数。
建立一个源点S，一个汇点T，S点向左点集X连边，右点集Y向T点连边，两个点集间从左向右连边，容量都是1，求最大流即可。
很显然一个流就代表一个匹配
（求最大流的算法主要是KM（\(N*M^2\)），dinic算法（\(M*N^2\)）。dinic算法求二分图最大匹配的时间复杂度是\(M*\sqrt N\)）

KM算法求最小带权完美匹配的模板：

inline int match(int x)
{
    S[x]=true;
    for(int j=1;j<=n;j++)
        if(lx[x]+ly[j]==w[x][j]&&!T[j])
        {
            T[j]=true;
            if(!to[j]||match(to[j]))
            {
                to[j]=x;
                return true;
            }
        }
    return false;
}
//以上是寻找最大匹配的匈牙利算法
inline void update()
{
    int d=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(S[i])
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(!T[j])
                    d=min(d,lx[i]+ly[j]-w[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(S[i]) lx[i]-=d;
        if(T[i]) ly[i]+=d;
    }
    //修改左右顶标的值
}
inline void KM()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        lx[i]=ly[i]=to[i]=0;
        for(int j=1;j<=n;j++) lx[i]=max(lx[i],w[i][j]);
    }
    //初始化，左边的顶标都等于该点连接的边中最大的边的权值
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(233)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++) S[j]=T[j]=0;
            if(match(i)) break；//若找到了当前点的增广路，就可以跳出寻找下一个点的了
            else update();//若未找到增广路，则修改顶标的值，这样子下次就可以找到增广路了
        }
    }
}

KM算法的顶标：
可行顶标十一个节点函数l，使得对于任意弧\((x,y)\)，有\(l(x)+l(y)\ge w(x,y)\)。相等子图是G的生成子图，包含所有点，但只包含满足\(l(x)+l(y)=w(x,y)\)的所有边\((x,y)\)。
定理：如果相等子图有完美匹配，则该匹配是原图的最大权匹配。

如何确认一条边/点是否一定在二分图最大匹配中

  • （dinic+tarjan）在跑完dinic的残量网络上面SCC缩点，对于一条边，如果它满流，且左右端点不在一个SCC中，那么它一定在二分图最大匹配上。
    yy的证明：如果在一个SCC中，一定能找到其他的替代边。
  • （匈牙利算法，确认一个点）先ban掉当前点，再增广的时候强行不选，然后再对它的匹配点进行增广，如果有其他的匹配，那么它不一定在二分图最大匹配上，反之则一定。

二分图最大权匹配

别的和最大匹配一样，但是给X到Y的边加费用为对应的边权，然后求S到T的最大费用流（注意这里不是最大费用最大流，因为那个是要求在最大流基础上的最大费用，可能就不是全局最大费用了）

二分图最小点覆盖

就是选出来最少数量的点，使得这些点所连接的边的并集覆盖掉所有的边。
定理：最小点覆盖=最大匹配
证明：首先，对于flow个最大匹配，每个匹配都需要一个点，也就是最少需要flow个点。实际上最多也是只需要flow个点。一条边只需要一个点就可以了；选了flow个点后，还有一条边两端的点都不在这个点集中说明还可以增广，这就和最大流的假设违背了。
一般适用于：

  • 两种选择，至少要选择一个，每个选择有代价的最优化问题（比如说BZOJ1741 asteroids )

二分图最小点权覆盖集

定理：最小点权覆盖=最小割=最大流
证明：S-X和Y-T的连对应点权容量的边， X-Y的连容量inf的边，然后求最小割，首先中间的边不会被割，也就是左右边的边选一些割掉（左右选一些点作为覆盖点）。
证明即是建图方式。

二分图最大独立集

在二分图中选出来一些点，使得这些点两两之间都没有边相连。
定理：最大独立集=点数-最小点覆盖
yy的证明：一条边只有两个点，如果排除这些最小点覆盖的集合，显然每条边只剩下剩下的那个点。这些点只有通过边才能与其他点相连，但是它们相连的边上的另外一点都已经被排除，所以相当于它们“与世隔绝”，所以这些点集就是最大独立集的数量。

二分图最大点权独立集

定理：总点权-最小割
yy的证明：正难则反，这个东西肯定是总点权减去一个什么值，然后这个值还要尽可能小，而且减去这个东西后还要保证留下来的点两两之间互不到达。将这个图断开的最小代价就是最小割了，所以自然减去的东西就是最小割（最小点权覆盖集）了qwqwq

小结：

二分图最大匹配=二分图最小点覆盖=最小割=最大流=n-最大独立集。

二分图最小权覆盖和二分图最大权独立集互补。

DAG最小路径覆盖（不相交）

什么是最小路径覆盖呢？就是选出若干个路径，使得这些路径的并经过所有的点。
把原图的每个点V拆成Vx和Vy两个点，如果有一条有向边A->B，那么就加边Ax−>By。这样就得到了一个二分图。那么(定理）最小路径覆盖=原图的结点数-新图的最大匹配数。
yy的证明：把原先的每一个点都看成一条路径，每连一条边就是等于将两个点合并起来，路径数量-1。
例题：BZOJ2150部落战争 题解

DAG最小路径覆盖（可相交）

和上面的大概相同，先用floyd求出原图的传递闭包，即如果a到b有路径，那么就加边a->b。然后就转化成了最小不相交路径覆盖问题。
例题：POJ2594 题解

霍尔定理（hall定理）

二分图G中的两部分顶点组合成的集合分别为X,Y。G中有一组无公共点的边，一端恰好为组成X的点（完美匹配）的充分必要条件是：X中的任意K个点至少与Y中的K个点相邻。
对于X中的一个点集W，令\(N_G(W)\)为W的所有邻居，霍尔定理即对于任意W，\(|W|<=|N_G(W)|\)
证明：（来自wzd dalao的博客）

  • 必要性证明
    假如一个二分图G存在完美匹配，且不满足Hall定理。 那么对于某k个点，它们连向的都不足k个点。 那么它们是怎么都被匹配上的？？？ 很显然必要性正确。
  • 充分性证明
    假如一个二分图G不存在完美匹配，且满足Hall定理。 那么假如有一种最大匹配的方案，既然不存在完美匹配，可以找到至少一个未被匹配的点。 因为这个二分图满足Hall定理，所以这个点一定连向了至少一个点。 假如这个点不在最大匹配中，它们就匹配了，怎么可能呢？？？ 那么这个点在最大匹配中！所以一定有一个点和它匹配了。 因为这个二分图满足Hall定理，所以这个点又一定连向了除它匹配的点外的至少一个点。 假如这个点不在最大匹配中，一条增广路找到了，怎么可能呢？？？ 那么这个点在最大匹配中！所以…… 看懂了吧！我们一定能推出矛盾！ 所以充分性正确。

霍尔定理（hall定理）拓展

对于X,Y二分图最大匹配数=\(|S|-max{|W|-|N(W)|}\)，其中S是X全集的个数，W是S的子集。
这个结论可以让我们不通过建图，就可以知道最大匹配数量。

最小割

最小割，图中所有的割中，边权值和最小的割为最小割。

最小割是解决利益冲突情况下的利益最大化问题

可能割边

就是有可能在最小割中的边。
定理：当且仅当该边满流且残余网络（包括反向边）中该边两端点处于不同SCC时，该边可能在最小割中。

关键割边

一定在最小割中的边。
将可能割边的容量加一，如果求得的最小割增大，证明该边一定是关键割边。

1.跑一遍网络流之后，对残量网络做SCC，满流且边的两个端点不在同一个SCC中的边是可能割边。

2.跑一遍网络流之后，对残量网络做SCC，满流，边的两个端点分别和S和T在同一个SCC里，这个边是关键割边。

  • 证明1：考虑如果减少一条边的容量之后，最小割变小了，证明这条边可能存在于最小割之中。那么反过来，如果(u,v)在同一个SCC中，我们把u→v这条边的容量减小d，那么我们把这个环上的所有边的容量都减少d，仍然满足流量平衡，意味着最大流即最小割不变。反之最大流即最小割改变，那么这条边可能存在于最小割中。

  • 证明2：增加一条边的容量，如果最小割增加，意味着这条边必定在最小割中。因为u→是满流的边，所以沿反边u可达S，T可达v 。如果S,u在同一个SCC，T,v在同一个SCC中，说明S到u上还有增广路，v到T上还有增广路，那么u→v的流量增加最小割也会增加，此时u→v必定在最小割中。

输出任意最小割方案

（如果只输出左右端点，不考虑中间连边——即INF时）跑一遍dinic，然后在残量网络上记录done数组，最后一遍bfs左边没有访问到的点和右边访问到的点就是最小割。

无向图最小割树。（分治最小割）

一些性质：
对于两个点(s,t)的最小割。这个最小割将将所有点分成左右两个集合X、Y。对于X中任意一点a与Y中任意一点b， (a,b)的最小割小于等于(s,t)的最小割。因此，每次递归计算分成的两个集合的最小割，更新答案。
也就是说明，每求一次最小割，都可以把一个大点集分成两个小点集，显然最后能分的次数是n-1次，也就是无向图不同的最小割最多n-1个。
例题：BZOJ2229/ZJOI2011 最小割 题解

最大权闭合子图

什么是闭合子图：给定一个有向图，从中选择一些点组成一个点集V。对于V中任意一个点，其后续节点都仍然在V中。
入门的话建议大家先去看这篇博客戳我

定理：最大权闭合子图=总点权-最小割

最大权闭合子图建模方式：先把答案加上所有的正权值，然后从源点向所有的正权点连一条流量为权值的边，所有的负权值的点向汇点连一条流量为权值相反数的边。原图中的所有的限制关系(i,j)均建立一条从i到j的流量为inf的边，最终的答案减去这个图的最小割就可以了。

最大密度子图

和分数规划有关，蒟蒻还不会。。。。回来再补。

平面图与对偶图

参考来自这位dalao的博客，在此表示感谢！
什么是平面图？任意两边之间的交点只能是顶点。
什么是对偶图？设有平面图G=(V,E)，满足下列条件的图G'= (V',E') 称为图G的对偶图：G的任一面Ri内有且仅有一点Vi'；对G的域Ri和Rj的共同边界Ek，画一条边Ek'=(Vi',Vj')且只与Ek交于一点；若Ek完全处于Ri中，则Vi'有一自环Ek'。

之间的关系：平面图最小割=对偶图最短路

作用：用求最短路来代替最小割，降低时间复杂度。
图片示例：

（蓝色的是平面图，紫色的是对偶图）
例题：NOI2010海拔 题解戳我

混合图欧拉回路

发现已经有大佬写啦！那就贴上好了qwq 戳我

给出一个有向图, 问至少删掉多少条边使得这个图有欧拉回路

设pi=in[i]-out[i]。如果pi>0,从S连向i，否则i连向T，容量为|pi|.然后一条有向边(u,v),网络流中连(v,u,1,1)◦求最小费用最大流，一条流表示把中间的边都删掉了，满流就代表着把入度出度不平衡的点给平衡了。

有上下界的网络流

posted @ 2019-01-10 13:13  风浔凌  阅读(710)  评论(0)  编辑  收藏  举报