整数划分问题

// 整数划分算法- 分治递归算法

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#include <iostream>
using namespace std;

int split(const int n, const int m)
{    
    if(m<1 || n<1) return 0;
    if(m==1 || n==1) return 1;
    if(n<m) return split(n,n);
    if(n==m) return 1+split(n,m-1);
    if(n>m) return split(n-m,m)+split(n,m-1);
}

/* 输出length长度的整数之和，用+连接*/
void print(const int *out, const int length)
{
    int i;
    for( i=0; i < length-1;i++)
        cout<<out[i]<<" + ";
    cout<<out[i];
    cout<<endl;

}

int splitOut(const int n, const int m, int *out, int length)
{
    if(n<1 || m<1) 
        return 0;
    if(n==1 || m==1)
    {
        if(n==1)
        {
            out[length] = n;
            print(out,length+1);//若被划分数为1，则直接输出
        }
        else
        {
            for(int k=0; k<n; k++)
                out[length++] = 1;
            print(out,length);       //若最大加数为1，则输出length 个 1之 和, 注意，这里不能用n或k代替，因为这个时候out的前length个有数据
        }

        return 1;
    }

    if(n<m)
    {
        return splitOut(n,n,out,length);
    }

    if(n==m)
    {
        out[length] = m;
        print(out,length+1);

        int temp = splitOut(n,m-1,out,length);
        return 1+temp;

    }

    if(n>m)
    {
        out[length]=m;
        int temp1 = splitOut(n-m,m,out,length+1);  //若整数其中一个为m，注意这里为length+1，因为增加了一个整数m
        int temp2 = splitOut(n,m-1,out,length);
        return temp1+temp2;
    }
}
/*void main()
{
    int n,s;
    int length = 0;
    const int max = 100;
    int out[max]={0};

    cout<<"please input a number for getting the number of division\n";
    cin>>n;
    s=splitOut(n,n,out,length);
    cout<<"the number of division of "<<n<<" is "<<s;
    cin>>n;
    
}*/

问题描述:将一个正整数n表示成一系列正整数之和.
         n=n1+n2+n3+...+nk (n1>=n2>=n3>=nk>=1, k>=1)
正整数n的一个这种表示就是正整数n的一个划分，正整数n不同的划分个数称为正整数n的划分数, 记作p(n)

例如：6 有如下11种划分则p(6)=11
6;
5+1;
4+2, 4+1+1;
3+3, 3+2+1, 3+1+1+1;
2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1;

在正整数n所有划分中，将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n, m).

我们可以建立如下递归关系:

(1) q(n, 1) = 1, n>=1

最大加数不大于1,则只有一种划分，n=1+1+1+...+1

(2) q(n, m) = q(n, n), m>=n

最大加数n1实际上不能大于n.因此q(1, m)=1

(3) q(n, n) = 1 + q(n, n-1)

正整数n的划分有n1=n的划分和n1<n-1的划分组成

(4) q(n, m) = q(n, m-1) + q(n-m, m), n>m>1

正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1<=m-1的划分组成.

 

 

于是计算q(n, m)的递归函数如下.显然p(n)=q(n,n)

 

 

int q(int n, int m)

{

    if((n<1) || (m<1))  return 0;

    if((n==1)|| (m==1)) return 1;

    if(n<m)             returnq(n, n);

    if(n==m)            return(q(n, m-1)+1);

    if(n>m)             return(q(n,m-1) + q(n-m, m));

}

 

为求n的所有划分,需要在上面求n的划分数的过程中将划分元素保存起来并输出.