// 整数划分算法- 分治递归算法
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#include <iostream>
using namespace std;
int split(const int n, const int m)
{
if(m<1 || n<1) return 0;
if(m==1 || n==1) return 1;
if(n<m) return split(n,n);
if(n==m) return 1+split(n,m-1);
if(n>m) return split(n-m,m)+split(n,m-1);
}
/* 输出length长度的整数之和,用+连接*/
void print(const int *out, const int length)
{
int i;
for( i=0; i < length-1;i++)
cout<<out[i]<<" + ";
cout<<out[i];
cout<<endl;
}
int splitOut(const int n, const int m, int *out, int length)
{
if(n<1 || m<1)
return 0;
if(n==1 || m==1)
{
if(n==1)
{
out[length] = n;
print(out,length+1);//若被划分数为1,则直接输出
}
else
{
for(int k=0; k<n; k++)
out[length++] = 1;
print(out,length); //若最大加数为1,则输出length 个 1之 和, 注意,这里不能用n或k代替,因为这个时候out的前length个有数据
}
return 1;
}
if(n<m)
{
return splitOut(n,n,out,length);
}
if(n==m)
{
out[length] = m;
print(out,length+1);
int temp = splitOut(n,m-1,out,length);
return 1+temp;
}
if(n>m)
{
out[length]=m;
int temp1 = splitOut(n-m,m,out,length+1); //若整数其中一个为m,注意这里为length+1,因为增加了一个整数m
int temp2 = splitOut(n,m-1,out,length);
return temp1+temp2;
}
}
/*void main()
{
int n,s;
int length = 0;
const int max = 100;
int out[max]={0};
cout<<"please input a number for getting the number of division\n";
cin>>n;
s=splitOut(n,n,out,length);
cout<<"the number of division of "<<n<<" is "<<s;
cin>>n;
}*/
问题描述:将一个正整数n表示成一系列正整数之和.
n=n1+n2+n3+...+nk (n1>=n2>=n3>=nk>=1, k>=1)
正整数n的一个这种表示就是正整数n的一个划分,正整数n不同的划分个数称为正整数n的划分数, 记作p(n)
例如:6 有如下11种划分则p(6)=11
6;
5+1;
4+2, 4+1+1;
3+3, 3+2+1, 3+1+1+1;
2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1;
在正整数n所有划分中,将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n, m).
我们可以建立如下递归关系:
(1) q(n, 1) = 1, n>=1
最大加数不大于1,则只有一种划分,n=1+1+1+...+1
(2) q(n, m) = q(n, n), m>=n
最大加数n1实际上不能大于n.因此q(1, m)=1
(3) q(n, n) = 1 + q(n, n-1)
正整数n的划分有n1=n的划分和n1<n-1的划分组成
(4) q(n, m) = q(n, m-1) + q(n-m, m), n>m>1
正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1<=m-1的划分组成.
于是计算q(n, m)的递归函数如下.显然p(n)=q(n,n)
int q(int n, int m)
{
if((n<1) || (m<1)) return 0;
if((n==1)|| (m==1)) return 1;
if(n<m) returnq(n, n);
if(n==m) return(q(n, m-1)+1);
if(n>m) return(q(n,m-1) + q(n-m, m));
}
为求n的所有划分,需要在上面求n的划分数的过程中将划分元素保存起来并输出.