CF-1831-E-卡特兰数+异或哈希+差分

合集 - Codeforces(31)

1.CF-55-D-数位DP2024-01-232.CF-87-D-并查集2024-01-133.CF-91-B-单调栈+二分2024-01-234.CF-240-F-线段树2024-01-215.CF-242-E-线段树2024-01-206.CF-292-D-并查集2024-01-237.CF-282-E-Trie2024-01-178.CF-342-E-分块2024-01-129.CF-375-D-启发式合并2024-01-1210.CF-431-D-二分+数位DP2024-01-2411.CF-461-B-树形DP2024-01-2212.CF-514-D-单调队列2024-01-1413.CF-522-D-线段树2024-05-0514.CF-570-D-启发式合并2024-01-2115.CF-600-E-启发式合并2024-05-0416.CF-613-D-虚树2024-01-1317.CF-620-E-DFS序+线段树2024-01-1718.CF-675-E-RMQ优化DP2024-01-1619.CF-702-E-倍增2024-01-1720.CF-797-E-根号分治2024-05-0421.CF-817-E-Trie2024-01-1622.CF-877-E-dfs序+线段树2024-05-0523.CF-915-F-并查集2024-01-2124.CF-938-D-最短路2024-05-1025.CF-1051-F-最短路+最小生成树2024-01-1726.CF-1184-E3-最小生成树+倍增+并查集2024-01-2427.CF-1304-E-倍增LCA+思维2024-01-2528.CF-1399-E2-优先队列2024-01-2229.CF-1515-F-思维2024-02-24

30.CF-1831-E-卡特兰数+异或哈希+差分2024-01-22

31.CF-1921-F-根号分治2024-01-24

收起

1831-E 题目大意

给定一个整数$n$，和$k$个区间，区间端点范围在$[1,n]$内。

如果有一个长为$n$合法的括号序列，且它的这$k$个区间$[l,r]$中的子括号序列也是合法的，那么称这个括号序列是“好的”。

请你求出有多少个长度为$n$的“好的”括号序列，答案对$998244353$取模。

---

Solution

从简单的情况开始考虑：

$1.k=0$时：
容易知道一个长为$2n$的合法括号序列个数为卡特兰数$\frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$。

$2.k=1\mathrm{时}$：
要求区间$[l,r]$中是一个合法的括号序列，因为原括号序列也是合法的，那么我们将$[1,l]$和$[r+1,n]$两段拼起来也是一个合法的的括号序列，据乘法原理，把两个括号序列的卡特兰数乘起来就是总的方案数。

$3.k=2\mathrm{时}$：
两个区间$[l_1,r_1],[l_2,r_2]$其中$l_1\le l_2$，分三种情况：

• 两个区间相离$(r_1<l_2)$：可以把整个括号序列分为三段，$[l_1,r_1],[l_2,r_2]$以及除这两个区间之外的拼起来的一段，此时把三个括号序列的卡特兰数乘起来即为总方案数。
• 两个区间包含$(r_1>r_2)$：可以把整个括号序列分为三段，$[l_2,r_2]$一段，$[l_1,l_2-1]$和$[r_2+1,r_1]$拼起来的一段，$[1,l_1-1]$和$[r_1+1,n]$拼起来的一段，此时把三个括号序列的卡特兰数乘起来即为总方案数。
• 两个区间相交$(r_1\ge l_{2}and{r}_1\le r_2)$：这里序列$[l_2,r_1]$被两个区间覆盖，那么要求这个序列也是一个合法的括号序列。此时可以把整个括号序列分为四段，$[l_1,l_2-1],[l_2,r_1],[r_1+1,r_2]$以及$[1,l_1-1]$和$[r_2+1,n]$拼起来的一段，此时把四个括号序列的卡特兰数乘起来即为总方案数。

推广到一般，被相同的区间覆盖的点集应当被划分为一组，这些点对应的括弧拼起来是一个合法的括号序列，答案即把所有组的卡特兰数相乘。接下来要解决的是如何对各个点进行划分。

对于给定的一个区间$[l,r]$，我们可以对这个区间打上标记，常用的做法是用差分数组，在数组的$l$位置打一个$+1$的标记，在$r+1$的位置打一个$-1$的标记。如果用加法的话，对于两个不相交的区间，其在差分数组中对应的区间标记都是$+1$，而实际上不能把这两个区间划分为同一组，这里的标记要用到一个$trick$——$XorHashing$。

对每个区间$[l,r]$赋一个随机值$x$作为它的标记，然后在差分数组的$l$位置打一个$\oplus x$的标记，在$r+1$的位置也打一个$\oplus x$的标记($\oplus$是异或符号)。统一处理完所有区间后，对差分数组求前缀异或，即可得到每个点属于哪个分组，用哈希表统计每组中点的数量即可。最后把所有卡特兰数乘起来即可得到答案。

时间复杂度$O(n+klogk·logmod)$。这里用了$map$复杂度上多了个$logk$，$logmod$是求逆元的复杂度。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;

mt19937_64 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
const int mod=998244353;

struct Comb{
    constexpr static int mod=998244353;
    vector<int> fac;
    int n;

    Comb(int _n):n(_n),fac(_n+1){
        get_fac();
    };

    ll pow(ll a,ll b){
        ll res=1;
        while(b){
            if(b&1) res=res*a%mod;
            a=a*a%mod;
            b>>=1;
        }
        return res;
    }

    ll inv(ll x){
        return pow(x,mod-2);
    }

    void get_fac(){
        fac[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod;
    }

    int comb(int n,int m){
        if(m>n) return 0;
        return 1LL*fac[n]*inv(1LL*fac[n-m]*fac[m]%mod)%mod;
    }
};

void solve(){
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    vector<unsigned ll> d(n+1);
    for(int i=0;i<k;i++){
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        l--;
        auto x=rng();
        d[l]^=x;
        d[r]^=x;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) d[i]^=d[i-1];
    map<unsigned ll,int> p;
    for(int i=0;i<n;i++) p[d[i]]++;
    ll ans=1;
    Comb C(n+1);
    for(auto [x,c]:p){
        if(c&1){
            ans=0;
        }else{
            ans=(ans*C.comb(c,c/2)%mod)*C.inv(c/2+1)%mod;
        }
    }
    cout<<ans<<'\n';
}

int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    //freopen("input.txt","r",stdin);
	//freopen("output.txt","w",stdout);
    int T=1;
    cin>>T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0;
}