CF-702-E-倍增

合集 - Codeforces(31)

1.CF-55-D-数位DP2024-01-232.CF-87-D-并查集2024-01-133.CF-91-B-单调栈+二分2024-01-234.CF-240-F-线段树2024-01-215.CF-242-E-线段树2024-01-206.CF-292-D-并查集2024-01-237.CF-282-E-Trie2024-01-178.CF-342-E-分块2024-01-129.CF-375-D-启发式合并2024-01-1210.CF-431-D-二分+数位DP2024-01-2411.CF-461-B-树形DP2024-01-2212.CF-514-D-单调队列2024-01-1413.CF-522-D-线段树2024-05-0514.CF-570-D-启发式合并2024-01-2115.CF-600-E-启发式合并2024-05-0416.CF-613-D-虚树2024-01-1317.CF-620-E-DFS序+线段树2024-01-1718.CF-675-E-RMQ优化DP2024-01-16

19.CF-702-E-倍增2024-01-17

20.CF-797-E-根号分治2024-05-0421.CF-817-E-Trie2024-01-1622.CF-877-E-dfs序+线段树2024-05-0523.CF-915-F-并查集2024-01-2124.CF-938-D-最短路2024-05-1025.CF-1051-F-最短路+最小生成树2024-01-1726.CF-1184-E3-最小生成树+倍增+并查集2024-01-2427.CF-1304-E-倍增LCA+思维2024-01-2528.CF-1399-E2-优先队列2024-01-2229.CF-1515-F-思维2024-02-2430.CF-1831-E-卡特兰数+异或哈希+差分2024-01-2231.CF-1921-F-根号分治2024-01-24

收起

702-E 题目大意

$n$个点，每个点有一条出边，边带权。给定整数$k$。求从每个节点出发经过$k$条边的路径上所有的边权和，以及最小的边权。

---

Solution

给定的图是基环树森林，从任意一个点出发无限走下去一定会进入环内。

倍增板子题，这里不详细解释什么是倍增数组，具体的可以网上自行学习。这里用到三个倍增数组：

• $to[i][j]$：从第$i$个点出发走$2^j$步到达的顶点。
• $sum[i][j]$：从第$i$个点出发走$2^j$步，路径上的边权和。
• $mn[i][j]$：第$i$个点出发走$2^j$步，路径上最小的边权。

倍增数组的构建，核心思路就是公式

$$2^j=2^{j-1}+2^{j-1}$$

以$to$数组为例，当前我们已将所有点走过$2^{j-1}$步的数组预处理完毕：

$$to[i][j]=to[to[i][j-1]][j-1]$$

从第$i$点出发先走$2^{j-1}$步到达$to[i][j-1]$再走$2^{j-1}$即到达目标点。

查询节点$i$经$k$条边后的边权和与最小边权：
由高到低枚举$k$的二进制位，如果$k$的第$j$位为$1$，则从当前点跳到$to[i][j]$，同时更新所求的路径和以及最小的边权。

时间复杂度$O(nlogk)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;

void solve(){
    int n;
    ll k;
    cin>>n>>k;
    int P=35;
    vector<vector<int>> to(n+1,vector<int>(P));
    vector<vector<ll>> sum(n+1,vector<ll>(P));
    vector<vector<int>> mn(n+1,vector<int>(P,1e9));
    for(int i=0;i<n;i++){
        int j;
        cin>>j;
        to[i][0]=j;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        int w;
        cin>>w;
        sum[i][0]=mn[i][0]=w;
    }
    for(int j=1;j<P;j++){
        for(int i=0;i<n;i++){
            to[i][j]=to[to[i][j-1]][j-1];
            sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[to[i][j-1]][j-1];
            mn[i][j]=min(mn[i][j-1],mn[to[i][j-1]][j-1]);
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        ll path_sum=0;
        int path_mn=1e9,x=i;
        for(int i=P-1;~i;i--){
            if(k&(1LL<<i)){
                path_sum+=sum[x][i];
                path_mn=min(path_mn,mn[x][i]);
                x=to[x][i];
            }
        }
        cout<<path_sum<<" "<<path_mn<<'\n';
    }
}

int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T=1;
    //cin>>T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0;
}