CF-675-E-RMQ优化DP

合集 - Codeforces(31)

1.CF-55-D-数位DP2024-01-232.CF-87-D-并查集2024-01-133.CF-91-B-单调栈+二分2024-01-234.CF-240-F-线段树2024-01-215.CF-242-E-线段树2024-01-206.CF-292-D-并查集2024-01-237.CF-282-E-Trie2024-01-178.CF-342-E-分块2024-01-129.CF-375-D-启发式合并2024-01-1210.CF-431-D-二分+数位DP2024-01-2411.CF-461-B-树形DP2024-01-2212.CF-514-D-单调队列2024-01-1413.CF-522-D-线段树2024-05-0514.CF-570-D-启发式合并2024-01-2115.CF-600-E-启发式合并2024-05-0416.CF-613-D-虚树2024-01-1317.CF-620-E-DFS序+线段树2024-01-17

18.CF-675-E-RMQ优化DP2024-01-16

19.CF-702-E-倍增2024-01-1720.CF-797-E-根号分治2024-05-0421.CF-817-E-Trie2024-01-1622.CF-877-E-dfs序+线段树2024-05-0523.CF-915-F-并查集2024-01-2124.CF-938-D-最短路2024-05-1025.CF-1051-F-最短路+最小生成树2024-01-1726.CF-1184-E3-最小生成树+倍增+并查集2024-01-2427.CF-1304-E-倍增LCA+思维2024-01-2528.CF-1399-E2-优先队列2024-01-2229.CF-1515-F-思维2024-02-2430.CF-1831-E-卡特兰数+异或哈希+差分2024-01-2231.CF-1921-F-根号分治2024-01-24

收起

675-E 题目大意

有$n$个车站，以及一个长度为$n$的序列$a_1,a_2······a_n$，第$i$个车站可以直接到达$[i+1,a_i]$中的任意一个车站。记$p[i][j]$为从车站$i$到车站$j$的最小步数，求：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^{n}p[i][j]$$

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Solution

记$dp[i]$为从车站$i$到后面车站的最小步数和，正着考虑一个车站可能对应着多个后面的车站的状态，不妨倒着考虑，车站$i$的状态能够从后面哪个车站转移而来。

基于贪心，我们应当从区间$[i+1,a_i]$中选出一个下一步能够走得最远的车站$j$，即$max(a[j]),j\in [i+1,a_i]$。这时转移方程为：

$$dp[i]=dp[j]+j-i+(n-a[i])$$

这里转移是怎么来的，分两部分考虑，一部分在$[i+1,a_i]$中，这里面的车站$i$可以一步到达，这里的贡献为$j-i+(dp[j]$的一部分$)$，另一部分则是在$[a_i+1,n]$中，这里面的车站需要$i$先转移到$j$再转移过去，换句话说就是在车站$j$到这些车站最小步数的基础上还需要多走一步，这一部分的贡献为$n-a[i]+(dp[j]$的另一部分$)$。

转移方程找到之后，剩下的问题就是在一段区间$[l,r]$中找到最大值$a[j]$，这部分就是$RMQ$问题了，用$ST$表、树状数组、线段树均可，时间复杂度$O(nlogn)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;

template<typename T>
struct Fenwick{
	int n;
	vector<T> tr;
	Fenwick(int _n):tr(_n+1),n(_n){
		for(int i=0;i<=n;i++) tr[i]={0,0};
	}
	int lowbit(int x){
		return x&-x;
	}
	void add(int u,T x){
		for(int i=u;i<=n;i+=lowbit(i)) if(x.first>=tr[i].first) tr[i]=x;
	}
	T query(int u){
		T res={0,0};
		for(int i=u;i;i-=lowbit(i)) if(tr[i].first>=res.first) res=tr[i];
		return res;
	}
};

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    vector<int> a(n+1);
    for(int i=1;i<n;i++){
        cin>>a[i];
        a[n]=n;
    }
    vector<vector<pair<int,int>>> e(n);
    ll ans=0;
    Fenwick<pair<int,int>> fen(n*2);
    fen.add(n,{n,n});
    vector<ll> dp(n+1);
    for(int i=n-1;i;i--){
        auto p=fen.query(a[i]);
        dp[i]=dp[p.second]+p.second-i+n-a[i];
        ans+=dp[i];
        fen.add(i,{a[i],i});
    }
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}