关于括号式子的计数

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超超版主的问题:

如果有n对括号，组成一个式子，而且括号的最深嵌套层次为k
满足这个条件的式子一共有几种？
如果n=3，k=2则有3种:
(())()
()(())
(()())

能否找到递推公式？ 

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tailzhou  网友的解答:

对于特定的 n,k;
深度为k的子式子最少有k个括号，最多有n个括号

对由i（i >=k and i <=n)个括号组成的深度为k的式子可以由dp数组得到；
其他的n-i个括号分布在深度为k的子式子的前后；

为了不重复统计，规定上面深度为k的子式子是 大式子中的第一个深度为k的子式子；

分别对前面有j(j >=0,j <=n-i,并且这k个括号组成的式子的最大深度不能大于k-1，也就是最大深度从1到k-1的总数的和)个括号，后面有n-i-j（并且这n-i-j个括号组成的式子的最大深度不能大于k）个括号的情况统计；


#include  <stdio.h >

#define MAX_N 20

int dp[MAX_N+1][MAX_N+1];

void fun(int n,int k)
{
int i,j;
for (i=k;i <n;++i)
{
int tmp=0;

for (j=0;j <=n-i;++j)
{
  int tmp_i=j;
int tmp_j=n-i-j;
int tmp_k1=0,tmp_k2=0;
if (tmp_i >k-1) tmp_i=k-1;
if (tmp_j >k) tmp_j=k;

for (;tmp_i >0 ; tmp_i--)
{
tmp_k1+=dp[j][tmp_i];
}
for (;tmp_j >0 ; tmp_j--)
{
tmp_k2+=dp[n-i-j][tmp_j] ;
}

if (tmp_k1 <1) tmp_k1=1;
if (tmp_k2 <1) tmp_k2=1;

tmp+=tmp_k1*tmp_k2;

}
dp[n][k]+=dp[i-1][k-1]*tmp;
}
dp[n][k]+=dp[n-1][k-1];
}

int main(int argc, char* argv[])
{

//最深嵌套层次为k,那么肯定存在一个层次为k-1的式子，其外围再有一对括号；
//这对括号外再没有嵌套的括号；
int n,k;

for (n=1; n <=MAX_N; n++)
{
dp[n][1]=1;
dp[n][n]=1;
}

for (n=1; n <=MAX_N; n++)
{
for (k=1; k <=n; k++)
{
if (k!=n && k!=1) fun(n,k);

printf("n:%3d k:%3d dp:%10d/n",n,k,dp[n][k]);
}
}

fun(20,2);

printf("input n{max:%d} and k{max:%d}:",MAX_N,MAX_N);
while (scanf("%d %d",&n,&k)==2)
{
printf("%d %d : %d /n" ,n,k,dp[n][k]);
printf("input n{max:%d} and k{max:%d}:",MAX_N,MAX_N);
}

return 0;
}

顺手将其改写成VB代码,如下所示:

Sub fun(ByVal n As Long, ByVal k As Long, ByRef dp())
Dim i As Long, j As Long, temp As Long, temp_i As Long, temp_j As Long, temp_k1 As Long, temp_k2 As Long
For i = k To n - 1
temp = 0
For j = 0 To n - i
temp_i = j
temp_j = n - i - j
temp_k1 = 0
temp_k2 = 0
If temp_i > k - 1 Then temp_i = k - 1
If temp_j > k Then temp_j = k
While temp_i > 0
temp_k1 = temp_k1 + dp(j, temp_i)
temp_i = temp_i - 1
Wend
While temp_j > 0
temp_k2 = temp_k2 + dp(n - i - j, temp_j)
temp_j = temp_j - 1
Wend
If temp_k1 < 1 Then temp_k1 = 1
If temp_k2 < 1 Then temp_k2 = 1
temp = temp + temp_k1 * temp_k2
Next
dp(n, k) = dp(n, k) + dp(i - 1, k - 1) * temp
Next
dp(n, k) = dp(n, k) + dp(n - 1, k - 1)
End Sub

Sub main()
Dim n As Long, k As Long, max_n As Long
max_n = 23
ReDim dp(1 To max_n, 1 To max_n)
For n = 1 To max_n
dp(n, 1) = 1
dp(n, n) = 1
Next
For n = 1 To max_n
For k = 1 To n
If k > 1 And k < n Then fun n, k, dp
Next
Next
[a1].Resize(max_n, max_n) = dp
[a1].Resize(max_n, max_n).Columns.AutoFit
End Sub

在EXCEL中返回:

1
1	1
1	3	1
1	7	5	1
1	15	18	7	1
1	31	57	33	9	1
1	63	169	132	52	11	1
1	127	482	484	247	75	13	1
1	255	1341	1684	1053	410	102	15	1
1	511	3669	5661	4199	1975	629	133	17	1
1	1023	9922	18579	16017	8778	3366	912	168	19	1
1	2047	26609	59917	59224	36938	16422	5358	1267	207	21	1
1	4095	70929	190696	214058	149501	75140	28405	8099	1702	250	23	1
1	8191	188226	600744	760487	587951	328185	140049	46305	11753	2225	297	25	1
1	16383	497845	1877256	2665884	2262375	1384345	654588	244412	72036	16500	2844	348	27	1
1	32767	1313501	5828185	9246276	8558854	5685306	2937932	1215448	404984	107880	22536	3567	403	29	1
1	65535	3459042	17998783	31793724	31945379	22863861	12776589	5773812	2133296	643280	156519	30073	4402	462	31	1
1	131071	9096393	55342617	108548332	117939506	90420110	54190390	26457508	10683684	3576375	986391	221067	39339	5357	525	33	1
1	262143	23895673	169552428	368400045	431530926	352754930	225253075	117789057	51401251	18822825	5770224	1467864	305102	50578	6440	592	35	1
1	524287	62721698	517884748	1244027317	1567159901	1360882980	921000186	512231849	239414383	94817125	31831137	9011054	2128646	412698	64050	7659	663	37	1
1	1048575	164531565	1577812060	4182854728	5655480303	5201391077	3714710824	2184870646	1085877703	460879770	167490453	51981891	13681044	3018092	548457	80031	9022	738	39	1
1	2097151	431397285	4796682165	14012220027	20299352107	19724548877	14812754293	9170250565	4817505085	2175127695	847842567	285135279	82362071	20265685	4195037	717541	98813	10537	817	41	1
1	4194303	1130708866	14555626635	46789129817	72522832282	74300429926	58500857880	37970054320	20980377935	10015603001	4155948108	1500475196	470125106	127088478	29373300	5728932	925704	120704	12212	900	43	1