P4071 排列计数

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4071

题目描述#

求有多少种 $1$ 到 $n$ 的排列 $a$，满足序列恰好有 $m$ 个位置 $i$，使得 $a_i = i$

答案对 $10^9 + 7$ 取模

输入格式#

本题单测试点内有多组数据

输入的第一行是一个整数 $T$，代表测试数据的整数

以下 $T$ 行，每行描述一组测试数据

对于每组测试数据，每行输入两个整数，依次代表 $n$ 和 $m$

输出格式#

共输出 $T$ 行，对于每组测试数据，输出一行一个整数代表答案

输入输出样例#

输入 #1#

复制5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

输出 #1#

复制0
1
20
578028887
60695423

说明/提示#

数据规模与约定#

本题共 $20$ 个测试点，各测试点等分，其数据规模如下表

测试点编号	$T=$	$n, m \leq$	测试点编号	$T=$	$n, m \leq$
$1\sim 3$	$10^3$	$8$	$10 \sim 12$	$10^3$	$10^3$
$4 \sim 6$	$10^3$	$12$	$13 \sim 14$	$5 \times 10^5$	$10^3$
$7 \sim 9$	$10^3$	$100$	$15 \sim 20$	$5 \times 10^5$	$10^6$

分析#

首先先选出位置与数值相等的 $m$ 个数，那么选择的情况数为 $n \choose m$，接着要对剩余的 $n-m$ 个数进行错排，我们设 $d[i]$ 表示 $i$ 个数错排的情况数，现在先让每个数都升序排列，接着拿出第一个数字 $a[1]$ ，在后面的 $i-1$ 个数字中选择一个与之交换，假设为 $a[k]$，选择的情况数为 $i-1$ 种，对于每一种选择的情况，$a[k]$ 已经实现了错排，而交换后的 $a[1]$ 有两种选择，第一种是就安放原位，那么它也实现了错排，接着只需对 $i-2$ 个数进行错排即可，第二种情况是它不放在这，那么它还要参与接下来的错排操作，所以要对 $i-1$ 个数进行错排，根据加法原理，两种情况的方案数为 $d[i-1]+d[i-2]$，又根据乘法原理，$d[i]=(n-1)(d[i-1]+d[i-2])$

接下来考虑时间复杂度，题目中 $N, M \le 10^6$，这样组合数就不能通过递推得到，而应该用组合数公式计算：

$${n \choose m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \\ \frac{n!}{m!(n-m)!} \equiv n!(m!)^{-1}(n-m)!^{-1} \pmod P$$

所以我们要提前计算 $i$ 的阶乘对 $P$ 取模的结果以及其乘法逆元

由于模数 $P=10^9 + 7$ 是质数，所以可以根据费马小定理来求乘法逆元：

$$a^{P-1} \equiv a \cdot a^{P-2} \equiv 1 \pmod P \\ a^{-1} \equiv a^{P-2} \pmod P$$

这样预处理阶乘和递推错排情况数的时间复杂度均为 $O(N)$，计算每个阶乘的乘法逆元要使用快速幂，时间复杂度为 $O(N \log_2 N)$

代码部分#

代码中使用 fac[i] 表示 $i! \bmod P$，inv[i] 表示 $(i!)^{-1} \bmod P$，d[i] 表示 $i$ 个数的错排情况数

复制#include <cstdio>
using namespace std;

const int N=1e6+10,P=1e9+7;
int t,n,m;
long long ans,fac[N],inv[N],d[N];

long long power_mod(int x,int y)
{
    if(y==0) return 1;
    long long res=power_mod(x,y>>1);
    res=(res*res)%P;
    if(y&1) res=(res*x)%P;
    return res;
}

int main()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=1e6;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%P;
    d[1]=0,d[2]=1;
    for(int i=3;i<=1e6;i++) d[i]=(i-1)*(d[i-1]+d[i-2])%P;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n==m) // special judge
        {
            puts("1");
            continue;
        }
        if(inv[m]==0) inv[m]=power_mod(fac[m],P-2);
        if(inv[n-m]==0) inv[n-m]=power_mod(fac[n-m],P-2);
        ans=fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P*d[n-m]%P;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}