P4071 排列计数

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4071

题目描述

求有多少种 \(1\) 到 \(n\) 的排列 \(a\)，满足序列恰好有 \(m\) 个位置 \(i\)，使得 \(a_i = i\)

答案对 \(10^9 + 7\) 取模

输入格式

本题单测试点内有多组数据

输入的第一行是一个整数 \(T\)，代表测试数据的整数

以下 \(T\) 行，每行描述一组测试数据

对于每组测试数据，每行输入两个整数，依次代表 \(n\) 和 \(m\)

输出格式

共输出 \(T\) 行，对于每组测试数据，输出一行一个整数代表答案

输入输出样例

输入 #1

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

输出 #1

0
1
20
578028887
60695423

说明/提示

数据规模与约定

本题共 \(20\) 个测试点，各测试点等分，其数据规模如下表

测试点编号	\(T=\)	\(n, m \leq\)	测试点编号	\(T=\)	\(n, m \leq\)
\(1\sim 3\)	\(10^3\)	\(8\)	\(10 \sim 12\)	\(10^3\)	\(10^3\)
\(4 \sim 6\)	\(10^3\)	\(12\)	\(13 \sim 14\)	\(5 \times 10^5\)	\(10^3\)
\(7 \sim 9\)	\(10^3\)	\(100\)	\(15 \sim 20\)	\(5 \times 10^5\)	\(10^6\)

分析

首先先选出位置与数值相等的 \(m\) 个数，那么选择的情况数为 \(n \choose m\)，接着要对剩余的 \(n-m\) 个数进行错排，我们设 \(d[i]\) 表示 \(i\) 个数错排的情况数，现在先让每个数都升序排列，接着拿出第一个数字 \(a[1]\) ，在后面的 \(i-1\) 个数字中选择一个与之交换，假设为 \(a[k]\)，选择的情况数为 \(i-1\) 种，对于每一种选择的情况，\(a[k]\) 已经实现了错排，而交换后的 \(a[1]\) 有两种选择，第一种是就安放原位，那么它也实现了错排，接着只需对 \(i-2\) 个数进行错排即可，第二种情况是它不放在这，那么它还要参与接下来的错排操作，所以要对 \(i-1\) 个数进行错排，根据加法原理，两种情况的方案数为 \(d[i-1]+d[i-2]\)，又根据乘法原理，\(d[i]=(n-1)(d[i-1]+d[i-2])\)

接下来考虑时间复杂度，题目中 \(N, M \le 10^6\)，这样组合数就不能通过递推得到，而应该用组合数公式计算：

\[{n \choose m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \\ \frac{n!}{m!(n-m)!} \equiv n!(m!)^{-1}(n-m)!^{-1} \pmod P \]

所以我们要提前计算 \(i\) 的阶乘对 \(P\) 取模的结果以及其乘法逆元

由于模数 \(P=10^9 + 7\) 是质数，所以可以根据费马小定理来求乘法逆元：

\[a^{P-1} \equiv a \cdot a^{P-2} \equiv 1 \pmod P \\ a^{-1} \equiv a^{P-2} \pmod P \]

这样预处理阶乘和递推错排情况数的时间复杂度均为 \(O(N)\)，计算每个阶乘的乘法逆元要使用快速幂，时间复杂度为 \(O(N \log_2 N)\)

代码部分

代码中使用 fac[i] 表示 \(i! \bmod P\)，inv[i] 表示 \((i!)^{-1} \bmod P\)，d[i] 表示 \(i\) 个数的错排情况数

#include <cstdio>
using namespace std;

const int N=1e6+10,P=1e9+7;
int t,n,m;
long long ans,fac[N],inv[N],d[N];

long long power_mod(int x,int y)
{
    if(y==0) return 1;
    long long res=power_mod(x,y>>1);
    res=(res*res)%P;
    if(y&1) res=(res*x)%P;
    return res;
}

int main()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=1e6;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%P;
    d[1]=0,d[2]=1;
    for(int i=3;i<=1e6;i++) d[i]=(i-1)*(d[i-1]+d[i-2])%P;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n==m) // special judge
        {
            puts("1");
            continue;
        }
        if(inv[m]==0) inv[m]=power_mod(fac[m],P-2);
        if(inv[n-m]==0) inv[n-m]=power_mod(fac[n-m],P-2);
        ans=fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P*d[n-m]%P;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}