P1886 滑动窗口（单调队列模板题）

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1886

题目描述#

有一个长为 $n$ 的序列 $a$，以及一个大小为 $k$ 的窗口。现在这个从左边开始向右滑动，每次滑动一个单位，求出每次滑动后窗口中的最大值和最小值

例如：

The array is $[1,3,-1,-3,5,3,6,7]$, and $k = 3$

Window Position	Minimum Value	Maximum Value
1 3 -1 -3 5 3 6 7	-1	3
1 3 -1 -3 5 3 6 7	-3	3
1 3 -1 -3 5 3 6 7	-3	5
1 3 -1 -3 5 3 6 7	-3	5
1 3 -1 -3 5 3 6 7	3	6
1 3 -1 -3 5 3 6 7	3	7

输入格式#

输入一共有两行，第一行有两个正整数 $n,k$。 第二行 $n$ 个整数，表示序列 $a$

输出格式#

输出共两行，第一行为每次窗口滑动的最小值，第二行为每次窗口滑动的最大值

输入输出样例#

输入 #1#

复制8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

输出 #1#

复制-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

说明/提示#

【数据范围】
对于 $50\%$ 的数据，$1 \le n \le 10^5$
对于 $100\%$ 的数据，$1\le k \le n \le 10^6$，$a_i \in [-2^{31},2^{31})$

分析#

首先对样例数据可视化：

以区间最大值为例，朴素的做法是对滑动窗口中的每一个数遍历得到最大值，换言之，滑动窗口所包含的范围就是每一次决策的范围，可以发现，如果在滑动窗口中存在 $i < j, a[i] \le a[j]$，那么 $a[i]$ 永远不可能作为答案出现，因为滑动窗口是向右移动的，只要 $a[i]$ 在滑动窗口中，那么 $a[j]$ 也一定在滑动窗口中，显然 $a[j]$ 比 $a[i]$ 更优，按照这个理论，我们可以在决策集合中删去所有单调递增的二元组中靠左边那个值，这样这个决策集合将不存在单调递增的情况，那么就是严格递减的，每一次的答案自然是决策集合的第一个值

比如当滑动窗口在 $[1,3]$ 时，可以将 $a[1]$ 从决策集合中排除：

接下来滑动窗口会向右移动一个单位，将会有一个新的元素进入决策集合，有可能会有元素离开决策集合，当新的元素加入时，需要维护决策集合的单调性，所以需要从尾部将所有小于那个元素的所有元素逐一删去，然后再将新元素放入尾部，接着还要排除过时决策，在首部将已经离开滑动窗口的元素逐一删去（可以通过下标来判断元素是否在当前的滑动窗口内），由于所有操作都涉及在两端，我们使用双端队列来维护决策集合

下面是三次滑动窗口移动时决策集合变化的可视化图，其中红色代表从队尾被删去的元素，蓝色代表队列中剩下的元素，绿色代表新添加的元素

第一次移动

第二次移动

第三次移动

由于每个元素最多入队和出队一次，故时间复杂度为 $O(n)$

代码部分#

复制#include <cstdio>
#include <deque>
using namespace std;

const int N=1e6+10;
int n,k,a[N];
deque< pair<int,int> > q;

int read()
{
    register int w=0,f=1;
    register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-') f=-1; 
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        w=(w<<1)+(w<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return f*w;
}

int main()
{
    n=read();
    k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(!q.empty()&&q.back().first>=a[i]) q.pop_back();
        q.push_back(make_pair(a[i],i));
        if(q.front().second<=i-k) q.pop_front();
        if(i>=k) printf("%d ",q.front().first);
    }
    putchar('\n');q.clear();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(!q.empty()&&q.back().first<=a[i]) q.pop_back();
        q.push_back(make_pair(a[i],i));
        if(q.front().second<=i-k) q.pop_front();
        if(i>=k) printf("%d ",q.front().first);
    }
    return 0;
}