如何理解最小二乘法？
最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。 从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。
----乔治·斯蒂格勒的《The History of Statistics》
1 日用而不知
来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：
用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：
\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad长度\qquad\\\hline \color{red}红& 10.2 \\\hline \color{blue}蓝& 10.3 \\\hline \color{orange}橙&9.8\\\hline \color{Goldenrod}黄&9.9\\\hline \color{green}绿&9.8\\\end{array}
之所以出现不同的值可能因为：
不同厂家的尺子的生产精度不同
尺子材质不同，热胀冷缩不一样
测量的时候心情起伏不定
......
总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：
\overline{x}=\frac{10.2+10.3+9.8+9.9+9.8}{5}=10
日常中就是这么使用的。可是作为很事'er的数学爱好者，自然要想下：
这样做有道理吗？
用调和平均数行不行？
用中位数行不行？
用几何平均数行不行？
2 最小二乘法
换一种思路来思考刚才的问题。
首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作y_i ：
其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作y ：
每个点都向y 做垂线，垂线的长度就是|y-y_i| ，也可以理解为测量值和真实值之间的误差：
因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：
|y-y_i|\to (y-y_i)^2
总的误差的平方就是：
\epsilon=\sum (y-y_i)^2
因为y 是猜测的，所以可以不断变换：
自然，总的误差\epsilon 也是在不断变化的。
法国数学家，阿德里安-馬里·勒讓德（1752－1833，这个头像有点抽象）提出让总的误差的平方最小的y 就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动（关于这点可以看下“如何理解无偏估计？”）。
这就是最小二乘法，即：
\epsilon=\sum (y-y_i)^2最小\implies 真值y
这个猜想也蛮符合直觉的，来算一下。
这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：
\begin{aligned} \frac{d}{dy}\epsilon &=\frac{d}{dy}\sum (y-y_i)^2=2\sum (y-y_i)\\ \quad\\ &=2((y-y_1)+(y-y_2)+(y-y_3)+(y-y_4)+(y-y_5))=0 \quad\\\end{aligned}
进而：
5y=y_1+y_2+y_3+y_4+y_5\implies y=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4+y_5}{5}
正好是算术平均数。
原来算术平均数可以让误差最小啊，这下看来选用它显得讲道理了。
以下这种方法：
\epsilon=\sum (y-y_i)^2最小\implies 真值y
就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思，台湾直接翻译为最小平方法。
3 推广
算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。
比如温度与冰淇淋的销量：
\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad销量\qquad\\\hline \color{red}{25^\circ}& 110 \\\hline \color{blue}{27^\circ}& 115 \\\hline \color{orange}{31^\circ}&155\\\hline \color{Goldenrod}{33^\circ}&160\\\hline \color{green}{35^\circ}&180\\\end{array}
看上去像是某种线性关系：
可以假设这种线性关系为：
f(x)=ax+b
通过最小二乘法的思想：
上图的i,x,y 分别为：
\begin{array}{c|c|c} \qquad i\qquad&\qquad x\qquad&\qquad y\qquad\\\hline 1&25& 110 \\\hline 2&27& 115 \\\hline 3&31&155\\\hline 4&33&160\\\hline 5&35&180\\\end{array}
总误差的平方为：
\epsilon=\sum (f(x_i)-y_i)^2=\sum (ax_i+b-y_i)^2
不同的a,b 会导致不同的\epsilon ，根据多元微积分的知识，当：
\begin{cases} \frac{\partial}{\partial a}\epsilon=2\sum (ax_i+b-y_i)x_i=0\\ \quad\\ \frac{\partial}{\partial b}\epsilon=2\sum (ax_i+b-y_i)=0\end{cases}
这个时候\epsilon 取最小值。
对于a,b 而言，上述方程组为线性方程组，用之前的数据解出来：
\begin{cases} a\approx 7.2\\ \quad\\ b\approx -73\end{cases}
也就是这根直线：
其实，还可以假设：
f(x)=ax^2+bx+c
在这个假设下，可以根据最小二乘法，算出a,b,c ，得到下面这根红色的二次曲线：
同一组数据，选择不同的f(x) ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线（出处）：
不同的数据，更可以选择不同的f(x) ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线：
f(x) 也不能选择任意的函数，还是有一些讲究的，这里就不介绍了。
4 最小二乘法与正态分布
我们对勒让德的猜测，即最小二乘法，仍然抱有怀疑，万一这个猜测是错误的怎么办？
数学王子高斯（1777－1855）也像我们一样心存怀疑。
高斯换了一个思考框架，通过概率统计那一套来思考。
让我们回到最初测量线段长度的问题。高斯想，通过测量得到了这些值：
\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad长度\qquad\\\hline \color{red}红& 10.2 \\\hline \color{blue}蓝& 10.3 \\\hline \color{orange}橙&9.8\\\hline \color{Goldenrod}黄&9.9\\\hline \color{green}绿&9.8\\\end{array}
每次的测量值x_i 都和线段长度的真值x 之间存在一个误差：
\epsilon_i=x-x_i
这些误差最终会形成一个概率分布，只是现在不知道误差的概率分布是什么。假设概率密度函数为：
p(\epsilon)
再假设一个联合概率密度函数，这样方便把所有的测量数据利用起来：
\begin{aligned} L(x) &=p(\epsilon_1)p(\epsilon_2)\cdots p(\epsilon_5)\\ \quad\\ &=p(x-x_i)p(x-x_2)\cdots p(x-x_5)\end{aligned}
讲到这里，有些同学可能已经看出来了上面似然函数了（关于似然函数以及马上要讲到的极大似然估计，可以参考“如何理解极大似然估计法？”）。
因为L(x) 是关于x 的函数，并且也是一个概率密度函数（下面分布图形是随便画的）：
根据极大似然估计的思想，概率最大的最应该出现（既然都出现了，而我又不是“天选之才”，那么自然不会是发生了小概率事件），也就是应该取到下面这点：
当下面这个式子成立时，取得最大值：
\frac{d}{dx}L(x)=0
然后高斯想，最小二乘法给出的答案是：
x=\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}
如果最小二乘法是对的，那么x=\overline{x} 时应该取得最大值，即：
\frac{d}{dx}L(x)|_{x=\overline{x}}=0
好，现在可以来解这个微分方程了。最终得到：
p(\epsilon)={1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{- {{\epsilon^2 \over 2\sigma^2}}}
这是什么？这就是正态分布啊。
并且这还是一个充要条件：
x=\overline{x}\iff p(\epsilon)={1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{- {{\epsilon^2 \over 2\sigma^2}}}
也就是说，如果误差的分布是正态分布，那么最小二乘法得到的就是最有可能的值。
那么误差的分布是正态分布吗？
我们相信，误差是由于随机的、无数的、独立的、多个因素造成的，比如之前提到的：
不同厂家的尺子的生产精度不同
尺子材质不同，热胀冷缩不一样
测量的时候心情起伏不定
......
那么根据中心极限定理（参考“为什么正态分布如此常见？”），误差的分布就应该是正态分布。
因为高斯的努力，才真正奠定了最小二乘法的重要地位。
文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解最小二乘法？
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作者：马同学高等数学
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81127117
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