二叉查找树

二叉查找树

---

关于二叉查找树的简介 百度百科 和 维基百科

本文使用Go语言进行描述

---

1) 二叉树创建

有如下数列，创建一颗二叉查找树

{50,22,30,16,18,43,56, 112,91,32,71,28}

使用如下的规则进行创建：

0)没有键值相等的结点

1)如果要插入的节点键值比当前节点小，则插入到当前节点的左子树，否则插入到当前节点的右子树

首先，定义二叉树节点的数据结构

 type BNode struct{
     key int
     value string
     lt, rt *BNode
 }

向二叉树添加新节点的操作如下

func add_node(node *BNode, key int) (*BNode) {
    if nil == node {
        var n BNode
        n.key = key
        node = &n
    } else if node.key > key {
        node.lt = add_node(node.lt, key)
    } else {
        node.rt = add_node(node.rt, key)
    }

    return node
}

所以建立二叉查找树的过程如下

 func main(){
     list := []int {50,22,30,16,18,43,56, 112,91,32,71,28}
     var root * BNode = nil
     for _, v := range list {
         root = add_node(root, v);
     }
 }

其中 BNode 结构中的 value 没有被使用。

---

2) 二叉树遍历

二叉树建立好了，但是是存在于内存中，怎样才能知道创建的没问题呢？

我们知道，对于一棵二叉树，其(中根遍历 + 先根遍历)，或者(中根遍历 + 后根遍历) 可以逆向推导出二叉树的结构。 所以接下来，我们要对二叉树进行一次中根遍历和一次先根遍历，并通过这两组数据验证下二叉树结构。

先根遍历的代码如下：

 func pre_list(node *BNode) {
     if nil == node {
         return
     }
     fmt.Printf("%d ", node.key);
     pre_list(node.lt)
     pre_list(node.rt)
 }

中根遍历的代码如下：

 func mid_list(node *BNode) {
     if nil == node {
         return
     }
     mid_list(node.lt)
     show_node(node)
     mid_list(node.rt)
 }

主函数代码如下：

func main(){
    list := []int {50,22,30,16,18,43,56, 112,91,32,71,28}
    var root * BNode = nil
    for _, v := range list {
        root = add_node(root, v);
    }

    pre_list(root)
    fmt.Fprintf(os.Stderr, "\n")
    mid_list(root);
    fmt.Fprintf(os.Stderr, "\n")
}

执行结果如下：

$ go run make_b_tree.go 
50 22 16 18 30 28 43 32 56 112 91 71 
16 18 22 28 30 32 43 50 56 71 91 112

我们可以根据上面的结果动手在纸上画一下，看看有没有创建成功。呵呵，开个玩笑。后面会讲如何重建二叉树。

---

3) 画出二叉树

除了动手画出来，我们还可以借助一些工具把它画出来，比如 Graphviz 。

下面这段代码是使用先根遍历的方法画出二叉树的代码，其作用是输出一段 dot 脚本。

func show_dot_node(node *BNode){
    if nil == node {
        return
    }
    fmt.Printf("    %d[label=\"<f0> | <f1> %d | <f2> \"];\n", node.key, node.key)
}

func show_dot_line(from , to *BNode, tag string) {
    if nil == from || nil == to {
        return
    }
    fmt.Printf("    %d:%s -> %d:f1;\n", from.key, tag, to.key)
}

func show_list(node * BNode) {
    if nil == node {
        return
    }
    show_dot_node(node)
    show_dot_line(node, node.lt, "f0:sw")
    show_dot_line(node, node.rt, "f2:se")

    show_list(node.lt)
    show_list(node.rt)
}

func make_dot(root * BNode) {
    fmt.Printf("digraph G{\n\
    node[shape=record,style=filled,color=cadetblue3,fontcolor=white];\n")
    show_list(root)
    fmt.Printf("}\n")
}

主函数则变更如下：

func main(){
    list := []int {50,22,30,16,18,43,56, 112,91,32,71,28}
    var root * BNode = nil
    for _, v := range list {
        root = add_node(root, v);
    }

    make_dot(root);
}

执行结果如下：

digraph G{
    node[shape=record,style=filled,color=cadetblue3,fontcolor=white];
    50[label="<f0> | <f1> 50 | <f2> "];
    50:f0:sw -> 22:f1;
    50:f2:se -> 56:f1;
    22[label="<f0> | <f1> 22 | <f2> "];
    22:f0:sw -> 16:f1;
    22:f2:se -> 30:f1;
    16[label="<f0> | <f1> 16 | <f2> "];
    16:f2:se -> 18:f1;
    18[label="<f0> | <f1> 18 | <f2> "];
    30[label="<f0> | <f1> 30 | <f2> "];
    30:f0:sw -> 28:f1;
    30:f2:se -> 43:f1;
    28[label="<f0> | <f1> 28 | <f2> "];
    43[label="<f0> | <f1> 43 | <f2> "];
    43:f0:sw -> 32:f1;
    32[label="<f0> | <f1> 32 | <f2> "];
    56[label="<f0> | <f1> 56 | <f2> "];
    56:f2:se -> 112:f1;
    112[label="<f0> | <f1> 112 | <f2> "];
    112:f0:sw -> 91:f1;
    91[label="<f0> | <f1> 91 | <f2> "];
    91:f0:sw -> 71:f1;
    71[label="<f0> | <f1> 71 | <f2> "];
}

我们把这段 dot 代码写入文件，btree.gv ，执行如下命令：

dot -Tpng -obtree.png btree.gv

成功的话，则会生成 btree.png 图片，如下所示：

---

4) 重建二叉树

下面根据我们得到的(中根遍历)和(先根遍历)来重建二叉树，两组数据如下：

pre : 50 22 16 18 30 28 43 32 56 112 91 71 
mid : 16 18 22 28 30 32 43 50 56 71 91 112

重建规则如下：

0）没有重复的数字

1）从(先根遍历)的数组 pre_list 中取开头的第一个数字A=pre_list[0]， 这个数 A 就是这个数组所组成的树BT的树根

2）从(中根遍历)的数组 mid_list 中找到第 1）步的数字A。 在mid_list中，所有在 A 左边的数字都属于 BT 的左子树lt， 所有在 A 右边的数字，都属于 BT 的的右子树rt。

3）递归解析lt和rt两组数字

重建二叉树的代码如下：

定义二叉树节点结构和辅助函数：

type BNode struct{
    key int
    value string
    lt, rt *BNode
}

func show_node(node * BNode) {
    if nil == node {
        return
    }
    fmt.Fprintf(os.Stderr, "%d ", node.key)
}

func pre_list(root *BNode) {
    if nil == root {
        return
    }
    show_node(root)
    pre_list(root.lt)
    pre_list(root.rt)
}

func mid_list(root *BNode) {
    if nil == root {
        return
    }
    mid_list(root.lt)
    show_node(root)
    mid_list(root.rt)
}

重建二叉树

//查找一个数字在数列中的位置：
func get_num_pos(list []int, num int) (int) {
    var pos int = -1
    for i, v := range list {
        if num == v {
            pos = i
            break
        }
    }

    return pos;
}

//递归建树
func rebuild_tree(tree * BNode, pre, mid []int) (* BNode) {
    if len(pre) <= 0 || len(mid) <= 0 {
        return tree
    }
    //(先根遍历)的第一个数字就是这棵树的树根
    root := pre[0]
    var pos int
    if pos = get_num_pos(mid, root); pos < 0 {
        return tree
    }
    if nil == tree {
        var n BNode
        n.key = root
        tree = &n
    }
    //重建左子树
    tree.lt = rebuild_tree(tree.lt, pre[1 : 1 + pos], mid[:pos])

    //重建右子树
    tree.rt = rebuild_tree(tree.rt, pre[1 + pos :], mid[pos + 1:])

    return tree
}

func main() {
    pre := []int {50, 22, 16, 18, 30, 28, 43, 32, 56, 112, 91, 71}
    mid := []int {16, 18, 22, 28, 30, 32, 43, 50, 56, 71, 91, 112}

    tree := rebuild_tree(nil, pre, mid)

    //重建后再进行一次(先根遍历)和一次(中根遍历)，检查输出结果是否和我们输入的相同。
    pre_list(tree)
    fmt.Fprintf(os.Stderr, "\n")
    mid_list(tree)
    fmt.Fprintf(os.Stderr, "\n")
}

执行代码如下：

$ go run rbulid_binary_tree.go
50 22 16 18 30 28 43 32 56 112 91 71
16 18 22 28 30 32 43 50 56 71 91 112

看样子结果相同 ~.~

---

5) 算法复杂度分析

接下来分析下二叉查找树的空间复杂度和时间复杂度。

5.1)空间复杂度

空间复杂度比较好分析。我们在建树的时候，是不是需要对每一个数据申请一次内存呢。 每个数据一次，那就是有多少数据，就要申请多少次，有n个数据就要 申请n次， 所以空间光是申请用于存放数据的内存次数就是n，这个和数据的规模是正相关的， 并且关系是O(x * n)，其中x是每个数据占用的内存数量。因为这个x在数据结构不变的情况下是不变的， 是不会随着数据规模而变化的，那就可以忽略，因为x是个常数，与n无关。 所以只是申请存放数据的空间的空间复杂度为O(n)。

那还有什么地方需要空间呢？就是递归的时候，需要栈空间。 树每深一层，就需要递归一次，也就需要保存一次栈空间。 在平均情况下，树的深度是lgN。但是在极端情况下，树的深度可是N啊。请看下面的图。

a树就是最差的树，这哪儿还像是一棵树啊，基本就是链表了；而b树就是一棵好树，深度最优。

所以最坏的递归建树栈空间也是O(n)，不过最好的是O(lgN)。

综合来说，空间是[O(n)+O(lgN)] ~ [2 O(n)]，这里要取比较大的一个，也就是2O(n)，也就是O(n)。

5.2) 时间复杂度

时间复杂度主要是考察增、删、查三个操作所面临的时间复杂度。 无论增加一个节点还是删除一个节点，首先都是查询这个节点的位置。所以我们首先介绍查询一个节点的时间复杂度。

5.2.1)查询一个节点的时间复杂度

还是以上图为代表，如果要查询其中的某一个节点，比如要查询b1，需要比较的节点一次是b4->b2->b1， 所以查询b1节点需要的时间是3。如果查询b4呢，那就只需要和b4比较一次就可以了。 所以查询一个节点所需要的最大时间，是和树的深度成正比的。那么在上图b树上，时间复杂度就是O(lnN)。 那么在a树上查询呢？查a1的话，只需要和a1比较一次就好了，但是如果要查a7呢，那就需要查询7次了。 所以二叉查找树的时间复杂度是O(lgN) ~ O(n)，取最坏的情况，那就是O(n)了。

5.2.2)增加一个节点的时间复杂度

增加一个节点，需要查询到该节点需要插入的位置，所以花费时间应该是在查询的基础上在+1，所以是O(n)。

5.2.3)删除一个节点的时间复杂度

二叉查找树删除节点可以分为三种情况:

a）要删除的目标节点是叶子节点。

此时只需要把这个节点删除即可，因为此节点没有子树，直接删除就可以了。如下图，删除节点2。

b）要删除的目标节点有一个子树。

i）如果只有左子树，就让这个节点的父节点指向这个节点的左子树。

ii）如果只有右子树，就让这个节点的父节点指向这个节点的右子树。如下图，删除节点3。

c）要删除的目标节点有两个子树。

i）方法一，找到要删除的节点的前驱，这个节点的前驱肯定是没有右子树的，用这个节点的前驱替换这个节点，并删除这个节点。

ii）方法二，找到要删除的节点的后继，这个节点的后继肯定是没有左子树的，用这个节点的后继替换这个节点，并删除这个节点。

前驱和后继的含义:

节点key的前驱，就是中序遍历时，比key小的所有节点中最大的那个节点。

节点key的后继，就是中序遍历时，比key小的所有节点中最大的那个节点。

无论是用前驱进行替换，还是用后继进行替换，思路都是情况c）转换为情况a）或者情况b）。

使用前驱进行替换：

使用后继进行替换：

删除操作说了，那么时间复杂度呢

因为删除一个节点的时候，首先需要进行查找，之后或者直接删除这个节点， 或者使用前驱或者后继替换后进行删除，首先查找的时间复杂度是O(lgN)， 直接删除的时间复杂度是O(1)。 替换删除呢，因为替换删除的时候，查找前驱或者后继的时候， 是在当前节点的基础上进行查找的，所以查找前驱或后继的时间加上查找要删除的节点的时间， 一共是O(lgN)。最坏是O(N)。

所以删除操作的时间复杂度在O(lgN)~O(N)之间。

平均来说会小于O(N)，更接近O(lnN)一些。

删除一个节点(采用前驱节点替换) Go语言描述如下：

//根据 key 值移除一个节点
func remove_node(tree * BNode, key int) (n, t *BNode){
    if nil == tree {
        return nil,nil
    }
    //找到 key 所在的节点，删除它
    if key == tree.key {
        n, tree = del_node(tree)
    } else if key > tree.key {
        n, tree.rt = remove_node(tree.rt, key)
    } else {
        n, tree.lt = remove_node(tree.lt, key)
    }

    return n, tree
}

//删除一个节点的操作
func del_node(tree * BNode) (n, t*BNode) {
    if nil == tree {
        return nil, nil
    }
    //直接删除叶子节点
    if nil == tree.lt && nil == tree.rt {
        return tree, nil
    }
    //不是叶子节点，说明有子树存在
    //没有左子树，说明只有右子树，直接返回右子树
    if nil == tree.lt {
        return tree, tree.rt
    }
    //只有左子树存在，直接返回左子树
    if nil == tree.rt {
        return tree, tree.lt
    }

    //左右子树都存在，获取前驱节点
    n, t = get_pre_node(tree.lt)

    n.lt = t
    n.rt = tree.rt

    return tree, n
}

//获取前驱节点
func get_pre_node(node * BNode) (n, t *BNode) {
    if nil == node {
        return nil, nil
    }
    if nil != node.rt {
        n, node.rt = get_pre_node(node.rt)
        return n, node
    }

    //删除找到的前驱节点，并删除此节点后返回
    return del_node(node)
}

 

可以调用remove_node(tree, key)函数删除key对应的节点，并且返回删除的节点。 

---

 

同步发表：http://www.fengbohello.top/blog/p/kqlo