我所理解的monad(1):半群(semigroup)与幺半群(monoid)
google到数学里定义的群(group): G为非空集合,如果在G上定义的二元运算 *,满足
(1)封闭性(Closure):对于任意a,b∈G,有a*b∈G
(2)结合律(Associativity):对于任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c)
(3)幺元 (Identity):存在幺元e,使得对于任意a∈G,e*a=a*e=a
(4)逆元:对于任意a∈G,存在逆元a^-1,使得a^-1*a=a*a^-1=e
则称(G,*)是群,简称G是群。
如果仅满足封闭性和结合律,则称G是一个半群(Semigroup);如果仅满足封闭性、结合律并且有幺元,则称G是一个含幺半群(Monoid)。
相比公式还是用代码表达更容易理解,下面表示一个半群(semigroup):
trait SemiGroup[T] {
def append(a: T, b: T): T
}
特质SemiGroup
,定义了一个二元操作的方法append
,可以对半群内的任意2个元素结合,且返回值仍属于该半群。
我们看具体的实现,一个Int
类型的半群实例:
object IntSemiGroup extends SemiGroup[Int] {
def append(a: Int, b: Int) = a + b
}
// 对2个元素结合
val r = IntSemiGroup.append(1, 2)
现在在半群的基础上,再增加一个幺元(Identity,也翻译为单位元),吐槽一下,幺元这个中文不知道最早谁起的,Identity能表达的意义(同一、恒等)翻译到中文后完全消失了。
trait Monoid[T] extends SemiGroup[T] {
// 定义单位元
def zero: T
}
上面定义了一个幺半群,继承自半群,增加了一个单位元方法,为了容易理解,我们用zero表示,半群里的任何元素a与zero结合,结果仍是a本身。
构造一个Int
类型的幺半群实例:
object IntMonoid extends Monoid[Int] {
// 二元操作
def append(a: Int, b: Int) = a + b
// 单位元
def zero = 0
}
构造一个String
类型的幺半群实例:
object StringMonoid extends Monoid[String] {
def append(a: String, b: String) = a + b
def zero = ""
}
再构造一个复杂点的 List[T]
的幺半群工厂方法:
def listMonoid[T] = {
new Monoid[List[T]] {
def zero = Nil
def append(a: List[T], b: List[T]) = a ++ b
}
}
OK,现在我们已经了解了幺半群是什么样了,但它有什么用?
http://hongjiang.info/semigroup-and-monoid/
我思故我在