UnityShader数学基础篇

Mathf

Mathf和Math

1、Math是C#中封装好的用于数学计算的工具类，位于System命名空间中。
2、Mathf是Unity中封装好的用于数学计算的工具结构体，位于UnityEngine命名空间中。

Mathf中的常用方法

1.π - PI
print(Mathf.PI);
2.取绝对值 - Abs

  print(Mathf.Abs(-10.5f));//10.5
  print(Mathf.Abs(-86));//86

3.向上取整 - CeilToInt

  print(Mathf.CeilToInt(1.001f));//2
  print(Mathf.CeilToInt(5.6f));//6

4.向下取整 - FloorToInt

  print(Mathf.FloorToInt(2.999f));//2
  print(Mathf.FloorToInt(1.04f));//1

5.钳制函数 - Clamp (传入的数据 ，数据传出最小值 ，数据传出最大值)

  int num = 18；
  print(Mathf.Clamp(num, 13, 32));//13
  print(Mathf.Clamp(num, 13, 32));//32
  print(Mathf.Clamp(num, 13, 32));//18

6.获取最大值 - Max

  int[] ints = new int[5] {5,9,78,65,23};
  print(Mathf.Max(1, 5, 6, 8, 9, 45));//45
  print(Mathf.Max(ints));//78

7.获取最小值 - Min

  int[] ints2 = new int[5] {-1,5,86,411,20};
  print(Mathf.Min(ints2));//-1
  print(Mathf.Min(1.2f,5,65,0.86f));//0.86

8.一个数的n次幂 - Pow

  print("2的6次方" + Mathf.Pow(2, 6));//64
  print("3的4次方" + Mathf.Pow(3, 4));//81

9.四舍五入 - RoundToInt

  print("四舍五入" + Mathf.RoundToInt(4.6f));//5
  print("四舍五入" + Mathf.RoundToInt(4.3f));//4

10.返回一个数的平方根 - Sqrt

  print("平方根" + Mathf.Sqrt(4));//2
  print("平方根" + Mathf.Sqrt(9));//3

11.判断一个数是否是2的n次方 - IsPowerOfTwo

  print("11:" + Mathf.IsPowerOfTwo(8));//ture
  print("11:" + Mathf.IsPowerOfTwo(9));//false

12.判断正负数 - Sign

  print("判断正负数" + Mathf.Sign(1));//1
  print("判断正负数" + Mathf.Sign(-2));//-1

13.插值运算 - Lerp
1、Lerp函数公式：result = Mathf.Lerp(start, end, t);
2、t为插值系数,取值范围为0~1：result = start + (end - start)*t

    float start = 0;
    float result = 0;
    float time = 0;

    void Update()
    {                
        //插值运算用法一
        //每帧改变start的值一变化速度先快后慢,位置无限接近,但是不会得到end位置
        start = Mathf.Lerp(start,10,Time.deltaTime);
        
        //插值运算用法二
        //每帧改变t的值一变化速度匀速,位置每帧result接近end,当t>=1时,得到结果
        time += Time.deltaTime;
        result = Mathf.Lerp(start,10,time);
    }

三角函数

Unity中都是弧度值，让物体曲线移动。

弧度(radian)、角度相互转化

1、1 rad = (180/π)°=> 1 rad = (180/3.14)°= 57.3°
2、弧度转角度：弧度 * 57.3 = 对应的角度
3、Mathf.Rad2Deg

  float rad = 1;
  float anger = rad * Mathf.Rad2Deg;
  print(anger);//57.3

1、1°= (π/180)rad => 1°= (3.14/180)rad = 0.01745 rad
2、角度转弧度：角度 * 0.01745 = 对应的弧度
3、Mathf.Deg2Rad

   anger = 1;
   rad = anger * Mathf.Deg2Rad;
   print(rad);//0.01745

三角函数

注意:Mathf中的三角函数相关函数,传入的参数需要弧度值
Sin() Cos()

  print(Mathf.Sin(30 * Mathf.Deg2Rad));//1/2
  print(Mathf.Cos(30 * Mathf.Deg2Rad));//sqrt3/2
  print(Mathf.Sin(30f));//1/2

反三角函数

注意:反三角函数得到的结果是正弦或者余弦值对应的弧度值
Asin() Acos()

  print(Mathf.Asin(0.5f) * Mathf.Rad2Deg);//30
  print(Mathf.Acos(0.5f) * Mathf.Rad2Deg);//60

Unity坐标系

世界坐标系

  transform.position
  transform.rotation
  transform.eulerAngles
  transform.lossyScale

物体坐标系

1、相对父对象的物体坐标系的位置 本地坐标 相对坐标
2、修改他们会是相对父对象物体坐标系的变化

  transform.localPosition;
  transform.localRotation;
  transform.localEulerAngles;
  transform.localScale;

屏幕坐标系

  Input.mousePosition;
  Screen.width;
  Screen.height;

坐标转换

  //世界转本地
  transform.InverseTransformDirection(Direction); //不受缩放影响（向量）
  transform.InverseTransformVector(Vector);       //受缩放影响
  transform.InverseTransformPoint(pos);

  //本地转世界
  transform.TransformDirection(localDirection);
  transform.TransformVector(localVector);
  transform.TransformPoint(localPos);

  //世界转屏幕
  Camera.main.WorldToScreenPoint(pos);
  //屏幕转世界
  Camera.main.ScreenToWorldPoint(ScreenPos);

  //世界转视口
  Camera.main.WorldToViewportPoint(pos);
  //视口转世界
  Camera.main.ViewportToWorldPoint(ViewportPos);

  //视口转屏幕
  Camera.main.ViewportToScreenPoint(ViewportPos);
  //屏幕转视口
  Camera.main.ScreenToViewportPoint(ScreenPos);

向量

1、Vector3这边变量 可以表示一个点 也可以表示一个向量 具体表示什么 是根据我们的具体需求和逻辑决定。
2、如何在Unity里面得到向量，终点减起点，就可以得到向量。点C也可以代表向量，代表的就是oc向量，o是坐标系原点。
3、得到了向量就可以利用vector3中提供的成员属性，得到模长和单位向量。
4、模长相当于可以得到两点之间的距离，单位向量主要是用来进行移动计算的它不会影响我们想要的移动效果。

  Vector3 A = new Vector3(1, 2, 3);
  Vector3 B = new Vector3(5, 4, 7);
  //两点向量
  Vector3 AB = B - A;
  Vector3 BA = A - B;

  //两个物体之间的向量
  Vector3 Vec = Object .position - transform.position;

  //magnitude 向量的模长
  print(Vec.magnitude);
  print(Vector3.Distance(Object.position, transform.position));
  
  //单位向量 normalized
  print(Vec.normalized);
  print(Vec / Vec.magnitude);

向量加减乘除运算


  #region 知识点一 向量加法
  transform.position += new Vector3(1, 2, 3);
  #endregion

  #region 知识点二 向量减法
  transform.position -= new Vector3(1,2,3);
  #endregion

  #region 知识点三 向量乘除标量 放大缩小n倍
  transform.localScale *= 2;
  transform.localScale /= 2;
  #endregion

向量点乘(dot product)

公式一：A•B = (a1,b1,c1)•(a2,b2,c2) = a1a2 + b1b2 +c1c3
公式二：A•B = |A||B|cosβ
几何意义：投影，判断前后

求角度：

        #region 知识点一 通过点乘判断对象的方位
        //Vector3 提供了计算点乘的方法
        Debug.DrawRay(transform.position, transform.forward, Color.blue);
        Debug.DrawRay(transform.position, Target.position - transform.position, Color.green);

        if (Vector3.Dot(transform.forward, Target.position - transform.position) >= 0)
        {
            print("目标在前方");
        }
        else
            print("目标在后方");
        #endregion

        #region 知识点二 通过点乘推导公式算出夹角
        //公式: 角度 = Acos（单位向量 • 单位向量）
        //1、用单位向量算出点乘结果
        float DotResult = Vector3.Dot(transform.forward, (Target.position - transform.position).normalized);
        //2、用反三角函数得出弧度,然后转为角度
        print("角度：" + Mathf.Acos(DotResult) * Mathf.Rad2Deg);

        //Vector3中提供了 得到两个向量之间夹角的方法
        print("角度：" + Vector3.Angle(transform.forward, Target.position - transform.position));

        //作用
        //怪物范围检测 角度范围内检测
        #endregion

向量叉乘(cross product)

公式：

模计算：|a×b|=|a||b|sinθ，平行四边形面积计算
几何意义：判断左右、法向量，三角形面片朝向

  #region 知识点一 叉乘计算
  print(Vector3.Cross(A.position, B.position).normalized);
  #endregion
  if (Vector3.Cross(A.position, B.position).y > 0)
      print("B在A的左边");
  else
      print("B在A的右边");

矩阵乘法

矩阵概念

矩阵的结构是由 m x n 个标量组成。
在程序中，我们用于存储矩阵结构的容器类型有很多选择，最常见的的为：
1、数组（一维、二维都可以）
2、嵌套列表（两个List嵌套）
3、开发工具提供的类或结构体（Unity中的Matrix4x4、Matrix3x2结构体）

矩阵和标量的乘法

矩阵(M)中的每一个标量和标量(k)相乘即可

矩阵和矩阵的乘法

1、首先需要判断两个矩阵是否能够相乘
判断条件：左列右行要相等
2、A和B两个矩阵，AB两个矩阵相乘的结果是C矩阵。
那么C(11) = A(1n).B(n1)、C(12) = A(1n).B(n2)、C(13) = A(1n).B(n3)
解读：C矩阵中的第一行第一列的值等于A中第一行点乘B中第一列。

矩阵之间的乘法

1、不满足交换律
AB ≠ BA
2、满足结合律
(AB)C = A(BC)
ABCDE = (AB)(CD)E = A((BC)D)E

特殊矩阵

  • 方块矩阵 —— 行列数相等的矩阵。
  • 对角矩阵 —— 只有主对角线有值，其余元素全为零的方阵。
  • 单位矩阵 —— 主对角线上的元素均为1 的对角矩阵。
  • 数量矩阵 —— 主对角线上的元素为同一值的对角矩阵。
  • 转置矩阵 —— 将原始矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
    • 矩阵转置的转置等于原矩阵 (MT)T = M
    • 矩阵串接的转置，等于反向串接各个矩阵的转置 (AB)T =BTAT

逆矩阵

  • 逆矩阵必须是一个方阵，并且不是所有矩阵都有逆矩阵。
    • 假设一个方阵 M ，它的逆矩阵用 M-1 表示。
    • 那么存在 MM-1 = M-1M = E（单位矩阵）
  • 如果一个矩阵存在对应的逆矩阵，我们就说该矩阵是可逆的（或称非奇异的）。
  • 如果不存在，那么该矩阵为不可逆的（或称奇异的）。
  • 判断方式:行列式不为0，那么可逆。

行列式的计算方式

假设矩阵为M，|M| 表示M矩阵的行列式，行列式是一个标量（数值）
计算方法：
1、左下左上画对角，线上数值都相乘，数值数量为行列，数量不够对岸取
2、左下分组加，左上分组减

代数余子式矩阵

标准伴随矩阵

标准伴随矩阵为原矩阵的代数余子式矩阵的转置矩阵。

逆矩阵的计算

1、逆矩阵 = 标准伴随矩阵 / 行列式
M-1 = CT / |M|
2、初等变换
(A E)->(E A-1)

逆矩阵的重要性质

1、逆矩阵的逆矩阵是原矩阵本身 (M-1)-1 = M
2、矩阵乘以自己的逆矩阵等于单位矩阵 MM-1 = M-1M = E
3、单位矩阵的逆矩阵是它本身 E-1 = E
4、转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置 (MT)-1 = (M-1)T
5、矩阵串接相乘后的逆矩阵 等于 反向串接各个矩阵的逆矩阵 相乘 (AB)-1 = B-1A-1
6、逆矩阵可以计算矩阵变换的反向变换（M为矩阵，v为一个矢量）
M-1(Mv) = (M-1M)v = Ev = v

正交矩阵

正交矩阵是一种特殊的方阵，正交的意思是垂直
它的特点是：
1、一个方阵和它的转置矩阵相乘为单位矩阵，那么它就是正交矩阵
MMT = MTM = E
2、通过正交矩阵的这一性质，再根据上节课学习的逆矩阵的一个重要性质
MM-1 = M-1M = E
3、我们可以推导出：如果一个矩阵是正交的，那么它的逆矩阵等于其转置矩阵
MT = M-1
4、如果一个矩阵是正交矩阵，那么它的转置矩阵也是正交矩阵

判断是否为正交矩阵


根据正交矩阵的基本概念，我们可以总结出判断一个矩阵是否是正交矩阵的方式有：

  • 判断MMT = MTM = E ，满足则为正交矩阵
  • 判断矩阵的每一行（列）是否是单位向量
    • 判断矩阵的行（列）向量是否彼此正交（垂直）

行列矩阵

一、列矩阵和行矩阵的基本概念
1、列矩阵就是只有一列的矩阵；行矩阵就是只有一行的矩阵。他们一般用于表示向量
2、把向量作为列矩阵和行矩阵与矩阵进行乘法运算时，计算顺序（列在后，行在前）和结果是不同的
二、列矩阵和行矩阵在Unity中的使用规则
1、在Unity的Shader开发中，我们采用列矩阵的形式进行向量计算，利用结合律，我们可以从右往左阅读
CBAv = C(B(Av))
2、如果想要使用行矩阵计算出和列矩阵相同的结果，我们可以乘以变换矩阵的转置矩阵
vATBTCT = (((vAT)BT)CT)

矩阵的几何意义

点和向量能在图像中画出来，那么矩阵可以吗？

矩阵的可视化结果就是：变换
在游戏开发中，如果你看到了一个矩阵，那么基本上你可以认为你看到的是一个变换，这些变换一般包含：平移、旋转、缩放。
比如：我们想要将一个点、一个向量进行一种变换（平移、旋转、缩放）。那么我们可以利用矩阵来进行数学计算，从而达到变换的目的。

我们可以利用矩阵相关知识做什么？

对三维空间中的向量进行平移、旋转、缩放、坐标变换、投影等等计算，这样我们就可以对Shader中的数据进行处理，让其最终在屏幕上的效果是按照我们的需求来呈现的。

什么是变换？

线性变换：指可以保留矢量加和标量乘的变换。缩放、旋转、错切、镜像、正交投影等。
仿射变换：指合并线性变换和平移变换的变换类型。齐次坐标。

齐次坐标(homogeneous coordinate)

齐次坐标是什么？

1、就是将一个原本是n维的向量或矩阵用n + 1维来表示。比如把原来的三维坐标转换为四维坐标(x,y,z,w)。
2、标准的3D坐标扩展到4D坐标，实际上3D的点被认为是在4D中w=1的“平面”上，将4D点投影到这个“平面”上得到相应的实际3D点（x/w,y/w,z/w）。w=0时4D点表示“无限远点”，描述着一个方向而不是点。
3、4D点乘于任何一个标量，其对应的3D点都不会变。

1、矩阵的\(M^{3x3}\) 部分用于表示旋转和缩放变换
2、矩阵的\(t^{3x1}\) 部分用于表示平移
3、矩阵的$O^{1x3} $部分始终为零矩阵
4、矩阵的右下角元素始终为1

为什么要使用齐次坐标进行矩阵运算

1、明确的区分向量和点。点(x,y,z,1) 向量(x,y,z,0)
2、能够表示出平移变换。线性变换转为仿射变换。

平移矩阵

平移矩阵不是正交矩阵。
逆矩阵 = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -tx\\ 0 & 1 & 0 & -ty\\ 0 & 0 & 1 & -tz\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)

点计算

点(x,y,z,1)在空间中移动到(x+tx,y+ty,z+tz,1)

\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & tx\\ 0 & 1 & 0 & ty\\ 0 & 0 & 1 & tz\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} x + tx\\ y + ty\\ z + tz\\ 1 \end{matrix} \right]\)

向量计算

平移不会发生任何变化，向量没有任何位置属性，不会发生变化

\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & tx\\ 0 & 1 & 0 & ty\\ 0 & 0 & 1 & tz\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ 0 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ 0 \end{matrix} \right]\)

旋转矩阵

2D中的旋转

R(θ) = \(\left[ \begin{matrix} p^、\\ q^、\\ \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} cosθ & sinθ\\ -sinθ & cosθ \end{matrix} \right]\)

3D中的旋转

1、任意旋转则是复合运算，旋转原理2D映射，参考上图，旋转顺序为zxy。
2、旋转矩阵是正交矩阵，逆矩阵等于转置矩阵，即可以还原旋转。

缩放矩阵

对模型空间进行缩放(w=1)或者对方向矢量进行缩放(w=0)

\(\left[ \begin{matrix} k_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & k_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & k_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1/0 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} k_x x\\ k_y y\\ k_z z\\ 1/0 \end{matrix} \right]\)
1、如果\(k_x = k_y = k_z\),称之为统一缩放，否则为非统一缩放。
2、对点的缩放（一般是构成模型的顶点），相当于就是在缩放模型大小。非统一缩放则是会拉伸或挤压，改变角度和比例信息
3、对向量的缩放，统一缩放时只会改变向量的大小（模长），不会改变向量的方向,非统一缩放时不仅会改变大小,可能还会改变向量的方向(比如法线使用非统一缩放，会出现错误结果)。
4、旋转矩阵一般不是正交矩阵，
逆矩阵 = \(\left[ \begin{matrix} 1/k_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/k_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1/k_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1/0 \end{matrix} \right]\)

复合运算

什么是复合运算？

所谓的复合运算，其实就是我们在计算矩阵变换时，可以把平移、旋转、缩放等计算组合起来，通过结合多矩阵的乘法，来形成一个复杂的变换过程。
比如：
我们可以将一个模型先缩放到2倍大小，再绕y轴旋转60°，最后再向x轴平移5个单位。列矩阵的阅读顺序是从右到左，变换公式如下：

\(P_{new} =M_{translation}M_{ratation}M_{scale}P_{old}\)

运算顺序

矩阵乘法不满足交换律，不同的变换实现计算的结果是不一样的。比如：向前一步再向左转和向左转再向前一步

复合运算顺序：

先缩放 -> 再旋转 -> 后平移

旋转顺序:

Z -> X -> Y

坐标空间变换

坐标空间是一个用于描述和定位物体位置的数学概念。由基础参照物(原点)和坐标轴构成。

为什么有很多不同的坐标空间？

不同的情况下需要不同的坐标系来描述和解决特定的空间问题，因为一些概念只有在特定的坐标空间下才有意义，才容易理解。

Shader开发中坐标空间变换

在Shader开发中为了方便我们制作模型，使用模型，渲染模型，也存在很多不同的坐标空间。
比如：模型空间、世界空间、观察空间、裁剪空间、屏幕空间

工作流程

在渲染管线中的，我们需要将坐标数据，在这几种空间当中进行变换计算（利用矩阵相关知识）。
模型空间 → 世界空间 → 观察空间 → 裁剪空间 → 屏幕空间

坐标空间变换规则

在渲染流水线中，我们往往需要把一个点或方向矢量从一个坐标空间转换到另一个坐标空间。而坐标空间之间是会存在父子关系的。

坐标空间变换矩阵

假设一个父坐标空间为\(F\)，子坐标空间为\(S\)。

对于坐标空间转换我们一般会有以下两种需求：
1、把子坐标空间$ S$ 下的点或方向矢量 \(A_s\) 转换到父坐标空间 \(F\) 中为 \(A_f\)
2、把父坐标空间 \(F\) 下的点或方向矢量 $ B_f$ 转换到子坐标空间 $ S$ 中为 $ B_s$

如果用矩阵来表示的话：
1、 $A_f = M_{s-f} A_s $ : $ M_{s-f} $ 代表从子坐标空间到父坐标空间的变换矩阵。
2、$B_s = M_{f-s}B_f $ : $ M_{f-s} $ 是 \(M_{s-f}\) 的逆矩阵，代表父坐标空间到子坐标空间的变换矩阵

推导 $ M_{s-f} $

已知 \(S\) 坐标空间的原点位置 \(O_s\) 和3个单位坐标轴\(X_s,Y_s,Z_s\)（基于F坐标空间的数据表达）
目的：
把子坐标空间下的 点$ P（a,b,c）$变换到父坐标空间 $ F $中
利用向量和点相关知识达到目的： $ P_f = O_s + a X_s + b Y_s + c Z_s$

推导：
$ P_f = O_s + a X_s + b Y_s + c Z_s$
$ = (X_{O_s} ,Y_{O_s},Z_{O_s}) + a (X_{x_s} ,Y_{x_s},Z_{x_s}) + b (X_{y_s} ,Y_{y_s},Z_{y_s}) + c (X_{c_s} ,Y_{c_s},Z_{c_s}) $
$ = (X_{O_s} ,Y_{O_s},Z_{O_s}) $ + \(\left[ \begin{matrix} X_{x_s} & X_{y_s} & X_{z_s}\\ Y_{x_s} & Y_{y_s} & Y_{z_s}\\ Z_{x_s} & Z_{y_s} & Z_{z_s} \end{matrix} \right]\) \(\left[ \begin{matrix} a\\ b\\ c\\ \end{matrix} \right]\)
$ = (X_{O_s} ,Y_{O_s},Z_{O_s}) $ + \(\left[ \begin{matrix} | & | & |\\ X_s & Y_s & Z_s\\ | & | & | \end{matrix} \right]\) \(\left[ \begin{matrix} a\\ b\\ c\\ \end{matrix} \right]\)
$ = $ \(\left[ \begin{matrix} | & | & | & |\\ X_s & Y_s & Z_s & O_s\\ | & | & | & | \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\) \(\left[ \begin{matrix} a\\ b\\ c\\ 1 \end{matrix} \right]\)

因此子空间变换到父空间的矩阵$ M_{s-f} $ = \(\left[ \begin{matrix} | & | & | & |\\ X_s & Y_s & Z_s & O_s\\ | & | & | & | \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\) ，据此又可以得到父空间到子空间的变换矩阵$ M_{f-s} $ = $ {M_{s-f}}^{-1} $，如果该矩阵是正交矩阵，则 $ M_{f-s} $ = $ {M_{s-f}}^{T} $

注意：以上不涉及缩放！！！

模型变换(model Transform)

模型空间

1、指3D模型的局部坐标系，每个模型都有自己独立的坐标空间，其模型空间的原点和坐标轴通常由美术人员在建模软件里确定好的。
2、模型空间的主要意义是方便我们建模，模型的顶点等数据都是基于模型空间表达的。
3、在Unity中当模型移动或旋转时，模型空间坐标系也会随着变换，因为此时的模型坐标空间是世界坐标空间的子空间。

世界空间

世界空间可以被描述为绝对位置(当然没有绝对位置这个说法)，世界空间的原点放置在游戏空间的中心。

模型变换

模型变换指的主要是将模型空间中的点或矢量通过矩阵乘法计算，变换为相对于世界坐标空间下数据。即是顶点变换的第一步。

例子：
将模型进行2倍缩放，又进行（0,150,0）的旋转，然后再进行(5,0,25)的平移，模型坐标空间下的红点\(P_{model}=（0,2,4,1）\)相对世界空间坐标是多少呢？

变换方法一：重合

原理：刚刚开始模型空间与世界坐标空间重合，然后模型发生缩放、旋转、平移变换时，而模型空间下的点和矢量也应该发生相同的变换。
遵循：遵循变换顺序，先缩放 -> 再旋转 -> 后平移。列矩阵计算顺序是从右到左。
公式：相对世界坐标系的位置 = 平移矩阵 * 旋转矩阵 * 缩放矩阵 * 红点的列矩阵
$ M_{model} $ = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} cosθ & 0 & sinθ & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -sinθ & 0 & cosθ & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} k_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & k_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & k_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)
= \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 25\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} -0.866 & 0 & 0.5 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -0.5 & 0 & -0.866 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)
= \(\left[ \begin{matrix} -1.732 & 0 & 1 & 5\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ -1 & 0 & -1.732 & 25\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)
红点世界坐标：
$ P_{world} = M_{model}P_{model}$
= \(\left[ \begin{matrix} -1.732 & 0 & 1 & 5\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ -1 & 0 & -1.732 & 25\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 0\\ 2\\ 4\\ 1 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} 9\\ 4\\ 18.072\\ 1 \end{matrix} \right]\)

变换方法二：坐标变换规则

原理：计算模型空间在世界坐标空间下的表示，根据坐标变换规则来变换矩阵。
注意：当使用坐标空间规则进行计算时，如果存在缩放，只需要用x、y、z轴向的单位向量 * 对应轴的缩放因子即可。因为坐标变换规则不涉及缩放。
计算：
游戏中可以根据transform.right，transform.up，transform.forward，transform.position获取 $ X_s,Y_s,Z_s,O_s$，然后分别乘于 $ k_x,k_y,k_z$。得出来的矩阵和上述方法一一样。

观察变换(view transform)

观察空间

观察空间（view space）也被成为摄像机空间（camera space）,将摄像机的模型空间单独拿出来讨论，而这便称之为观察空间。

注意：

Unity中模型空间和世界空间中都是左手坐标系，而观察空间中使用的右手坐标系，符合OpenGL传统，即所以摄像机的正前方指向的是-Z方向轴

意义：

摄像机决定了渲染的视角和视野。

观察变换

观察空间变换指的主要是将模型空间中的点或矢量从世界空间中变换到观察空间中。它是顶点变换的第二步，就是将数据从 世界空间—>观察空间 进行变换。

摄像机在世界空间中的变换是先（30,0,0）进行旋转，然后按（0,10，-10）进行平移。

变换方法一：重合

原理：这次变换与模型变换不同，是逆过来的，让观察空间与世界空间重合。平移整个观察空间，让摄像机原点位于世界坐标的原点，坐标轴与世界空间中的坐标轴重合。
遵循：逆变换顺序，先平移 -> 再旋转 -> 后缩放。
解释：上图为例子,为了让观察空间与世界空间重合，需要进行逆变换，即按(0,-10,10)平移，回到原点，再按(-30,0,0)进行旋转，让坐标轴重合。没有进行缩放。
$ M_{view} $ = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & cosθ & -sinθ & 0\\ 0 & sinθ & cosθ & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)
= \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.866 & 0.5 & 0\\ 0 & -0.5 & 0.866 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -10\\ 0 & 0 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)
= \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.866 & 0.5 & -3.66\\ 0 & -0.5 & 0.866 & 13.66\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)
还没完呢！！因为观察空间使用的是右手坐标系，所以需要对Z分量进行取反操作。
$ M_{view} = M_{negatez}M_{view} $
= \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.866 & 0.5 & -3.66\\ 0 & -0.5 & 0.866 & 13.66\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)
= \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.866 & 0.5 & -3.66\\ 0 & -0.5 & -0.866 & -13.66\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)
红点观察空间坐标：
$ P_{view} = M_{view}P_{world}$
= \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.866 & 0.5 & -3.66\\ 0 & -0.5 & -0.866 & -13.66\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 9\\ 4\\ 18.072\\ 1 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} 9\\ 8.84\\ -27.31\\ 1 \end{matrix} \right]\)

变换方法二：坐标变换规则

原理：计算观察空间在世界坐标空间下的表示，根据坐标变换规则来获取观察空间到世界空间的变换矩阵，然后对该矩阵求逆得到世界空间到观察空间的变换矩阵。
观察空间变换到世界空间的矩阵$ M_{v-w} $ = \(\left[ \begin{matrix} | & | & | & |\\ X_s & Y_s & Z_s & O_s\\ | & | & | & | \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\) ，求逆可以得到世界空间到观察空间的变换矩阵$ M_{w-v} $ = $ {M_{v-w}}^{-1} $

投影变换

裁剪空间

裁剪空间也被称为齐次裁剪空间，用于变换的矩阵叫做裁剪矩阵，也叫投影矩阵(projection matrix)。
解释：齐次裁剪空间是一个三维空间，是在计算机图形学中用于在图形渲染过程中进行裁剪和投影的。它的坐标范围为(-1,-1,-1)到（1,1,1），超出这个范围的坐标渲染图元在渲染时会被裁减掉，只会保留范围内的坐标。这块空间由视锥体决定。
作用：齐次裁剪空间是通过将摄像机的视锥体投影到一个规范化的立方体而转换来的。这个立方体就是齐次裁剪空间。是为了让我们可以更通用、便捷的来进行裁剪工作。否则不同的视椎体需要不同的处理过程，十分麻烦。

视锥体

视锥体指的是空间中的一块区域，决定了摄像机可以看到的空间，即决定了哪些内容能被渲染，哪些内容会被裁剪。视锥体由六个平面包围而成，这些平面也叫裁剪平面。
类型：分为正交投影与透视投影。

顶点变换的第三步，投影变换

正交投影

目标：

得到将摄像机视锥体的正交投影空间转换到齐次坐标裁剪空间的变换矩阵。

分成两步来完成：
1、将视锥体中心位移到观察空间原点中心。
2、将长方体视锥体的xyz坐标范围映射到(-1,1)长宽高为2的正方体中。

基础数据准备

首先是要知道这个长方体视椎体的各个顶点表示。
Near：近裁剪面离摄像机的距离。
Far：远裁剪面离摄像机的距离。
Size：视锥体竖直方向上高度的一半。

1、近裁剪面和远裁剪面的高
\(nearClipPlaneHeight = farClipPlaneHeight = 2*Size\)
2、通过横纵比获取横向信息
Camera.main.aspect 可以获取横纵比。
\(nearClipPlaneWidth = farClipPlaneWidth = 2*Size * Aspect\)

第一步：将视锥体中心位移到观察空间原点中心

这里只需要一个平移矩阵,-z位置向z移动

\(平移Z = -(-Far-Near)/2\)
得到平移矩阵\(M_{translation}\) = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & (Far+Near)/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)

第二步：将长方体视锥体的xyz坐标范围映射到(-1,1)长宽高为2的正方体中

建立起视椎体与齐次裁剪空间的关系，其关系是一种线性变化，缩放关系。

得到缩放矩阵\(M_{scale}\) = \(\left[ \begin{matrix} \frac1{Aspect*Size} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac1{Size} & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\frac2{Far-Near} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)

最后：结合两个矩阵的到最终结果

\(M_{frustum}\) = \(\left[ \begin{matrix} \frac1{Aspect*Size} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac1{Size} & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\frac2{Far-Near} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \frac{Far+Near}2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)
= \(\left[ \begin{matrix} \frac1{Aspect*Size} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac1{Size} & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\frac2{Far-Near} & -\frac{Far+Near}{Far-Near}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)

透视投影

目标：

得到将摄像机视锥体的透视投影空间转换到齐次坐标裁剪空间的变换矩阵。

分成三步来完成：
1、将透视视锥体变成一个长方体，将该长方体进行正交投影变换的操作。
2、将视锥体中心位移到观察空间原点中心。
3、将长方体视锥体的xyz坐标范围映射到(-1,1)长宽高为2的正方体中。

基础数据准备

FOV（Field of View）：决定视锥开口角度
Near：近裁剪面离摄像机的距离
Far：远裁剪面离摄像机的距离

1、近裁剪面和远裁剪面的高
\(nearClipPlaneHeight = 2*Near*tan\frac{FOV}2\)
\(farClipPlaneHeight = 2*Far*tan\frac{FOV}2\)
2、通过横纵比获取横向信息
Camera.main.aspect 可以获取横纵比。
\(nearClipPlaneWidth = nearClipPlaneHeight * Aspect = 2*Near*tan\frac{FOV}2 * Aspect\)
\(farClipPlaneWidth = farClipPlaneHeight * Aspect = 2*Far*tan\frac{FOV}2 * Aspect\)

第一步：将透视视锥体变成一个长方体

该变换需要满足3个特性
1、近裁剪面上的所有点保持不变
2、远裁剪面的z值不变，远裁剪面的中心点不变
3、视椎体内所有点宽高映射成近裁剪面的宽高
然后根据这3个特性得到对应的矩阵变换关系，进行推导出该步骤的变换矩阵即可。

1、近裁剪面上的所有点保持不变
$M_{one} $ *\(\left[ \begin{matrix} x\\ y\\ -Near\\ 1 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} x\\ y\\ -Near\\ 1 \end{matrix} \right]\)
2、远裁剪面的z值不变，远裁剪面的中心点不变
$M_{one} $ *\(\left[ \begin{matrix} 0\\ 0\\ -Far\\ 1 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} 0\\ 0\\ -Far\\ 1 \end{matrix} \right]\)
3、视椎体内所有点宽高映射成近裁剪面的宽高
视椎体内任意点(X,Y,Z)，然后通过相似三角形可以得到以下关系

$M_{one} $ *\(\left[ \begin{matrix} X\\ Y\\ Z\\ 1 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} X\frac{-Near}Z\\ Y\frac{-Near}Z\\ 未知\\ 1 \end{matrix} \right]\)
4、推导
注意：四维齐次坐标中乘以或者除以一个非零的数（标量），所映射的三维坐标始终是同一个坐标
4.1、根据3推导
\(\left[ \begin{matrix} X\frac{-Near}Z\\ Y\frac{-Near}Z\\ 未知\\ 1 \end{matrix} \right]\) * -Z => \(\left[ \begin{matrix} NearX\\ NearY\\ 未知\\ -Z \end{matrix} \right]\)
$M_{one} $ *\(\left[ \begin{matrix} X\\ Y\\ Z\\ 1 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} NearX\\ NearY\\ 未知\\ -Z \end{matrix} \right]\) => \(\left[ \begin{matrix} Near & 0 & 0 & 0\\ 0 & Near & 0 & 0\\ ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} X\\ Y\\ Z\\ 1 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} NearX\\ NearY\\ 未知\\ -Z \end{matrix} \right]\)
又因为Z和 X，Y无关,矩阵第三行x、y可以设置为0，z、w设置为a,b
$M_{one} $= \(\left[ \begin{matrix} Near & 0 & 0 & 0\\ 0 & Near & 0 & 0\\ 0 & 0 & a & b\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right]\)
4.2、根据1推导
按上面已经得到的矩阵来说，w=Near，不符合等式，所以先将点乘于Near。并且设x=0，y=0，一样是满足的。
\(\left[ \begin{matrix} 0\\ 0\\ -Near\\ 1 \end{matrix} \right]\) * Near = \(\left[ \begin{matrix} 0\\ 0\\ -Near^2\\ Near \end{matrix} \right]\)
\(\left[ \begin{matrix} Near & 0 & 0 & 0\\ 0 & Near & 0 & 0\\ 0 & 0 & a & b\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 0\\ 0\\ -Near\\ 1 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} 0\\ 0\\ -Near^2\\ Near \end{matrix} \right]\)
由此可以得到一个二元不等式 \(-aNear + b = -Near^2\)
4.3、根据2推导
同理可以得到一个二元不等式 \(-aFar + b = -Far^2\)
5、结果
根据两个不等式可以解出 \(a = Near+Far、b = Near + Far\)
固而$M_{one} $= \(\left[ \begin{matrix} Near & 0 & 0 & 0\\ 0 & Near & 0 & 0\\ 0 & 0 & Near+Far & NearFar\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right]\)

第二步：将视锥体中心位移到观察空间原点中心

这里只需要一个平移矩阵,-z位置向z移动

\(平移Z = -(-Far-Near)/2\)
得到平移矩阵\(M_{translation}\) = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & (Far+Near)/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)

第三步：将长方体视锥体的xyz坐标范围映射到(-1,1)长宽高为2的正方体中

建立起视椎体与齐次裁剪空间的关系，其关系是一种线性变化，缩放关系。

得到缩放矩阵\(M_{scale}\) = \(\left[ \begin{matrix} \frac1{Aspect*Near*tan\frac{FOV}2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac1{Near*tan\frac{FOV}2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\frac2{Far-Near} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)

最后：结合三个矩阵的到最终结果

\(M_{frustum}\) = \(\left[ \begin{matrix} \frac1{Aspect*Near*tan\frac{FOV}2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac1{Near*tan\frac{FOV}2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\frac2{Far-Near} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \frac{Far+Near}2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} Near & 0 & 0 & 0\\ 0 & Near & 0 & 0\\ 0 & 0 & Near+Far & NearFar\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right]\)
= \(\left[ \begin{matrix} \frac1{Aspect*tan\frac{FOV}2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac1{tan\frac{FOV}2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\frac{Far+Near}{Far-Near} & -\frac{2FarNear}{Far-Near}\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right]\)

图元裁剪

变换的意义

我们之所以要将观察空间中的顶点等信息变换到裁剪空间中，主要意义，其实我们一开始就提到过是为了让我们可以更通用、便捷的来进行裁剪工作。
因为如果直接使用视锥体定义的空间来进行裁剪，那不同的视锥体就需要不同的处理过程，比如正交摄像机的 Size、Near、Far等参数，透视摄像机中的FOV、Near、Far等参数
他们决定了视锥体的体积大小会各不相同，而且对于透视投影的视锥体来说，判断顶点是否在其范围内相对较麻烦。

如何裁剪？

我们可以知道透视投影的参数如下：FOV=60°，Near=5，Far=40，Aspect=4/3。

投影矩阵\(M_{frustum}\)=\(\left[ \begin{matrix} \frac1{Aspect*tan\frac{FOV}2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac1{tan\frac{FOV}2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\frac{Far+Near}{Far-Near} & -\frac{2FarNear}{Far-Near}\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} 1.299 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1.732 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1.286 & -11.429\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right]\)
按之前的例子红点判断是否被裁剪：
\(P_{clip}\) = \(M_{frustum}P_{view}\)
= \(\left[ \begin{matrix} 1.299 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1.732 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1.286 & -11.429\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 9\\ 8.84\\ -27.31\\ 1 \end{matrix} \right]\) = \(\left[ \begin{matrix} 11.691\\ 15.311\\ 23.692\\ 27.31 \end{matrix} \right]\)
据此我们得到裁剪空间下的红点坐标为\(P_{clip}=(11.691,15.311,23.692,27.31)\)
那么转变为三维空间的点坐标为\(P_{clip}=(11.691/27.31,15.311/27.31,23.692/27.31) = (0.428,0.561,0.867)\)

判断

说过齐次裁剪空间是一个三维空间，坐标范围为(-1,-1,-1)到（1,1,1），超出这个范围的坐标渲染图元在渲染时会被裁减掉，只会保留范围内的坐标。
判断一：四维判断
$-w <= x <= w $ -> \(-27.31<= 11.691 <= 27.31\)
$-w <= y <= w $ -> \(-27.31<= 15.311 <= 27.31\)
$-w <= z <= w $ -> \(-27.31<= 23.692 <= 27.31\)
都成立，说明不需要被裁剪。
判断二：三维判断
$-1 <= x <= 1 $ -> \(-1<= 0.428 <= 1\)
$-1 <= y <= 1 $ -> \(-1<= 0.561 <= 1\)
$-1 <= z <= 1 $ -> \(-1<= 0.867 <= 1\)
都成立，说明不需要被裁剪。

屏幕空间变换

屏幕空间

屏幕空间（Screen Space）是计算机图形学中的概念，指渲染结果在屏幕上显示的二维坐标空间。
三维坐标经过一系列转换后会转换到最终的二维屏幕坐标空间中使得图像可以在屏幕上进行展示。

意义

屏幕空间中对应的位置信息是真正的像素位置，而不是虚拟的三维坐标。有了相对屏幕空间的坐标位置，才能准确的控制屏幕上像素点的显示效果。

屏幕映射

将模型空间中的点或矢量从裁剪空间中变换到屏幕空间中，它是顶点变换的第四步，就是将数据从 裁剪空间 → 屏幕空间 进行变换。主要是将三维坐标(x,y,z)中的x,y分量映射到屏幕上，而z分量一般会被用于深度缓冲，之后用于深度测试等（决定是否被遮挡等）。

如何映射？

首先我们知道，正交投影中w分量为1，透视投影中w分量则不为1，我们首先需要进行透视除法，保证裁剪空间中点的数据表达在齐次裁剪空间的范围内。
即四维空间坐标必须转为三维空间坐标，即是将x,y,z都分别除w，即（x/w,y/w,z/w）。这一步得到的坐标也叫做归一化设备坐标(NDC)

然后获取到归一化设备坐标(NDC)的x，y与屏幕之间的关系，关系如图

可以得到透视除法和屏幕映射过程的总体公式：
$ screen_x = \frac{clip_xpixelWidth}{2clip_w} + \frac{pixelWidth}2 $

$ screen_y = \frac{clip_ypixelHeight}{2clip_w} + \frac{pixelHeight}2 $

映射

已知红点裁剪空间坐标为\(P_{clip}=(11.691,15.311,23.692,27.31)\)
当前屏幕 \(pixelWidth=400，pixelHeight=300\)
$screen_x = \frac{clip_xpixelWidth}{2clip_w} + \frac{pixelWidth}2 $
= \(\frac{11.691*400}{2*27.31} + \frac{400}2\)
= \(285.617\)
$screen_y = \frac{clip_ypixelHeight}{2clip_w} + \frac{pixelHeight}2 $
= \(\frac{15.311*300}{2*27.31} + \frac{300}2\)
= \(234.096\)
据此，红点在屏幕上的位置为(285.617,234.096)。

总结

如图

引用

[1] UnityShader入门精要
[2] 唐老狮Shader入门教程
[3] 3D数学基础：图形与游戏开发

posted @ 2024-05-15 21:56  FengLing_风铃  阅读(302)  评论(0)  编辑  收藏  举报