一道有趣的面试题，小鸟和火车的问题

（此题不难，但是出题者要的不是答案而是推导过程，以此考验面试者的逻辑思维能力，题目部分是转载的，详细推导是我自己写的）

这道“有趣”的面试题是：甲乙两地相距100公里，有一辆火车A以每小时15公里的速度离开甲地直奔乙地，另一辆火车B以每小时20公里的速度从乙地开往甲地。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从甲地出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟往返了多少次？

首先说这个题，我觉得出的并无任何不严谨的地方，也没有能明显让人误解的地方。按照通常的表述，显然题意是忽略鸟的转身时间，忽略鸟的身长，把鸟和火车头抽象成三个点。
然后是解法，按照原意，鸟往返了无限多次（趟数），可以用数学归纳法证明：

假设小鸟跑完 K 次时两车相距 m，小鸟在A火车处（R 处）；
然后小鸟再朝B火车跑，即第 k+1 次，并且与B火车相遇（Y 处），此时AB火车相距多少（XY）？
通过这种假设可以分析出小鸟每次往返，两车新间距（衰减），进而可以反推出往返多少次（衰减到0）

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现在我们看示意图：

 

第k+1次小鸟与B火车相遇在 Y，两者花费的时间（t）相同，并且距离相加正好为 m，于是：
m = 30t + 20t
t = m / 50

此时AB火车间距XY应该是 m 减去 A 火车跑的距离，再减去 B 火车跑的距离，于是：
m - 15 * (m/50) - 20 * (m/50) = 3m/10

规律如下：
第 k 次时，两车相距 m；
第 k + 1 次时，两车相距 3m / 10；
第 k + 2 次时，两车相距 3(3m / 10) / 10；
第 k + 3 次时，两车相距 3(3(3m / 10) / 10) / 10；
……
第 k + n 次时，两车相距 (3 / 10)^n * m

如果 k = 0 时，m = 100，那小鸟跑的次数为 n 次时，两车相距：(3 / 10)^n * 100

这么看来，就算跑无数次，两车的间距也不可能为 0

我们还可以推导出此类问题的一个公式，设火车 A 的速度 a，火车 B 的速度 b，小鸟的速度 c，c > a 且 c > b，甲乙两地相距 m

((1 - a / (b + c) - b / (b + c))^n) * m

把此题的常数带进去，((3/10)^n) * 100，就算 n 为无限大，两车的距离都不会为0，也就是说两车间距无限接近0时，小鸟的飞行次数将无限增大。