四元数(quaternious)

    四元数是一个简单的超复数，它通过四个数来表达方位。一般来说，四元数可表示为

[w,v]

或者

[w,(x,y,z)]

    我们从复数开始理解四元数。复数对(a,b)定义了a+bi，i是所谓的虚数，i2=-1：a称作实部，b称作虚部。任意实数k都可以通过k+0i表示。p=a+bi的共轭复数为p*=a-bi。p的模和p*的模都等于√[(a+bi)(a-bi)]，即√(a²+b²)。

    复数的实际意义在于它可以表示2D坐标系中点的坐标，可以认为复数空间中存在实轴和虚轴，实部和虚部分别表示实轴方向上的坐标和虚轴方向上的坐标。

    对于复平面上的复数向量p=(x,y)，若要描述其逆时针旋转一个角度，需要引入第二个复数q=(cosθ,isinθ)

p'=pq=(x+yi)(cosθ+isinθ)

=(xcosθ-ysinθ)+(xsinθ+ycosθ)i

   在旋转矩阵中，通过基向量以及其旋转后的值

p=[1,0];p'=[cosθ,sinθ]

q=[0,1];q'=[-sinθ,cosθ]

可得

R(θ)=

    可见，引入复数q和用2×2旋转矩阵达到的效果是一样的。