[概率论与数理统计]笔记：1.1 概率事件

第一章 随机事件与概率

1.1 随机事件

基本概念

随机现象

• 确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。
• 随机现象：无法事先准确预知其结果的现象。
• 统计规律性：随机现象在大量重复观察时所表现出来的量的规律性。
• 随机试验：对随机现象的观察。简称：试验。

随机试验的特点：

1. 一定条件下可重复
2. 试验结果不止一个
3. 试验结果不可预测

样本空间

• 样本点：随机试验的每一个可能结果。通常用\(\omega\)表示。
• 样本空间：一个随机事件所有样本点的集合。通常用\(\Omega\)表示。

一个随机试验将要出现的结果是不确定的，但其所有可能结果是明确的。

\[\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\} \]

随机事件

• 事件：一个指定的特征。

比如掷骰子时，“点数为偶数”这一指定特征就是一个事件。

• 随机事件：在随机试验中可能发生也可能不发生的事件。
• 确定性事件：在试验之前就能够准确预知其是否发生的事件。
  • 必然事件：在试验中必然会发生的事件。
  • 不可能事件：在试验中一定不发生的事件。

通常将必然事件和不可能事件视为随机事件的极端情形，并将随机事件简称为事件。

• 基本事件：最简单的，相对于试验目的不能再分(不必再分)的事件。

集合表示

• 样本空间\(\Omega\)是随机试验的所有可能结果，是样本点\(\omega\)的全体。

• 一个事件对应于\(\Omega\)中具有相应特征的样本点构成的集合，是\(\Omega\)的一个子集。

• \(\Omega\)表示必然事件，\(\varnothing\)作为空集表示不可能事件。
• 只有事件能讨论概率，样本点不讨论概率。

例：

\(\omega\) 是样本点

\(\{\omega \}\)是事件

事件的关系与运算

两个事件之间的关系与运算

有限个或可数个事件的并与交

有限个事件

• \(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i\)表示若干个事件至少有一个会发生。
• \(\bigcap\limits_{i=1}^nA_i\)表示若干个事件都会发生。

可数个事件

可数(可列)用于描述无穷序列。

无限可列个：要求无穷大集合可以按某种规律排成一个序列。

可列的常见集合有：

1. 自然数：\(0,1,2,3,4,\cdots\)
2. 整数：\(0,\pm1,\pm2,\cdots\)
3. 有理数；

不可列的常见集合有：

1. 无理数；
2. 实数：无理数集不可列，因此实数集也不可列；
3. 直线点集

• \(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\)表示所有事件至少有一个会发生。
• \(\bigcap\limits_{i=1}^\infty A_i\)表示所有事件都会发生。

完备事件组

判定

若有限个或可数个事件，满足两两互斥，且所有事件的并为\(\Omega\)，则称这些事件是一个完备事件组.

性质

若有限个或可数个事件是一个完备事件组，那么这些事件满足两两互斥，且所有事件的并为\(\Omega\).

可以将完备事件组类比为拼图，每一个事件是一块碎片，拼凑起来刚刚好组成一整幅画（即样本空间\(\Omega\)）。

随机事件的运算律

随机事件的运算律是集合论知识的一种运用。

交换律

• \(A\cup B = B\cup A\)
• \(A\cap B=B\cap A\)

结合律

• \((A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C) =A\cup B\cup C\)
• \((A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C) =A\cap B\cap C\)

分配律

• 第一分配律：\(A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)
• 第二分配律：\(A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)

自反律

• \(\overline{(\overline{A})}=A\)

德摩根律

• \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\)
• \(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\)

常见记法

\(A,B,C\)是试验\(E\)的随机事件

1. \(A\)发生：\(A\)

2. 只有\(A\)发生：\(A\overline{B} \overline{C}\)

3. \(A,B,C\)恰有一个发生：\(A\overline{B}\overline{C}+\overline{A}B\overline{C}+\overline{A}\overline{B}C\)

4. \(A,B,C\)同时发生：\(ABC\)

5. \(A,B,C\)至少一个发生：\(A+B+C\)

6. \(A,B,C\)至多一个发生：\(\overline{A}\overline{B}\overline{C}+A\overline{B}\overline{C}+\overline{A}B\overline{C}+\overline{A}\overline{B}C\)

7. 恰有两个：\(AB\overline{C}+A\overline{B}C+\overline{A}BC\)

8. 至少两个：\(AB+BC+AC\)

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社