[概率论与数理统计]笔记：1.5 事件的独立性

1.5 事件的独立性

两个事件的独立性

定义

如果一个事件\(B\)发生与否对另一个事件\(A\)发生的概率没有任何影响，则

\[P(A|B)=P(A) \]

其中，\(P(B)>0\)，称\(A\)独立于\(B\).

对称的，如果\(P(B|A)=P(B),P(A)>0\)则称\(B\)独立于\(A\).

综合起来，如果：

\[P(AB)=P(A)P(B) \]

(其中\(P(A)>0,P(B)>0\))，则称\(A\)与\(B\)相互独立，简称\(A\)与\(B\)独立。

推论

1. \(\varnothing\)和\(\Omega\)与任意事件\(A\)独立。
2. 若\(A,B\)独立，则\(A,\overline{B}\)独立，\(\overline{A},B\)独立，\(\overline{A},\overline{B}\)独立。
3. 若\(P(A)=0\)或\(P(A)=1\)，则\(A\)与任意事件独立。

\(P(A)=0\)不等价于\(A=\varnothing\)，\(P(A)=1\)不等价于\(A=\Omega\)。

举例：

线段\([0,1]\)上随机投一质子，落在某一点上的概率为0，但是该事件不是\(\varnothing\)；

质子落在区间\((0,1)\)内的概率为1，但是该事件不是\(\Omega\)(还差0和1这两个点)。

联系

独立和互不相容这两个概念没有必然联系：

• 独立是以概率的角度，互不相容是以事件的关系运算的角度。

• 独立和互不相容不同时成立：

  • 若\(A,B\)独立，则\(P(AB)=P(A)P(B)>0\)
  • 若\(A,B\)互不相容，则\(AB=\varnothing\)，\(P(AB)=0\).

  两者不会同时发生。

• 互不相容表现为：\(A\)发生了，\(B\)就一定不可能发生。而独立表现为：\(A\)发生了，\(B\)可能发生也可能不发生，和\(A\)没有关系。

常用题型

1. 投篮、射击类题目，多次试验相互独立。
2. 题目指明事件\(A,B,C,\cdots\)相互独立。

有限个事件的独立性

定义

设\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)为\(n(n\ge2)\)个事件，如果对其中任何\(k(2\le k\le n)\)个事件\(A_{i_1},A_{i_2},\cdots,A_{i_k}(1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n)\)，均有

\[P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}) \]

则称\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)相互独立。

伯努利概型

相关概念

1. 独立试验序列：\(E_1,E_2,\cdots,E_n\)相互独立
2. \(n\)重独立试验：\(E,E,\cdots,E\) 同一试验重复\(n\)次，相互独立
3. 伯努利试验：结果只有两种，\(\Omega=\{A,\overline{A}\}\)
4. \(n\)重伯努利试验：\(n\)次，独立，结果只有两种。

定理

事件\(A\)发生的概率为\(p(0<p<1)\)，\(\overline{A}:1-p\).

\(n\)重伯努利试验中，\(A\)发生\(k\)次：

\[P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} \]

如果记\(q=1-p\)，则公式可记为:

\[P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k} \]

这个公式叫二项概率公式.

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社