[概率论与数理统计]笔记:2.5 随机变量函数的分布

2.5 随机变量函数的分布

随机变量函数

对于一个随机变量\(X\),其取值是不确定的,如果存在一个函数\(g(x)\),使得随机变量\(X,Y\)满足:

\[Y=g(X), \]

则称随机变量\(Y\)是随机变量\(X\)的函数。

\(X\)的统计规律决定了\(Y\)的统计规律.


离散型随机变量函数的分布

离散型随机变量\(X\)的函数\(Y=g(X)\)显然还是离散型随机变量。

\(Y\)的概率分布完全由\(X\)的概率分布所确定。


连续型随机变量函数的分布

设随机变量\(X\)的密度函数为\(f_X(x)\),分布函数为\(F_X(x)\)

用函数\(g(x)\)构造随机变量\(Y=g(X)\),记\(Y\)的密度函数为\(f_Y(x)\),分布函数为\(F_Y(x)\)

求解\(Y\)的密度函数的过程可以为:

  1. 使用\(F_X(x)\)表示\(F_Y(x)\).
  2. 两边求导,得到用\(f_X(x)\)表示的\(f_Y(x)\).

均匀分布

均匀分布线性替换后仍是均匀分布

例题

已知\(X\)的密度函数为\(f_X(x)\)\(Y=3X+2\),求\(Y\)的密度函数.

  • \(F_X(x)=P\{X\le x\}\)
  • \(F_Y(x)=P\{Y\le x\}\)

解:

\(F_Y(x)=P\{Y\le x\}=P\{3X+2\le x\}=P\{X\le \frac{x-2}{3}\}=F_X(\frac{x-2}{3})\)

\(F_Y(x)=F_X(\frac{x-2}{3})\)两边求导,得:

\[f_Y(x)=\frac{1}{3}f_X(\frac{x-2}{3}) \]

特别地,如果\(X\)服从区间\([0,4]\)上的均匀分布,且

\[f_X(x)= \left\{ \begin{align*} & \frac{1}{4},\quad\quad 0\le x\le 4, \\ & 0, \quad\quad\quad else, \end{align*} \right. \]

则有

\[f_Y(x)= \left\{ \begin{align*} & \frac{1}{12},\quad\quad 2\le x\le 14,\\ & 0,\quad\quad\quad else, \end{align*} \right. \]

事实上,\(X\)服从\([a,b]\)上的均匀分布,\(Y=kX+C(k\ne0)\),则服从相应区间上的均匀分布

  • \(k>0\)时,相应区间为\([ka+C,kb+C]\)
  • \(k<0\)时,相应区间为\([kb+C,ka+C]\)

正态分布

线性

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)\(Y=aX+b(a\ne0)\)

\(a>0\)时,\(F_Y(x)=P\{Y\le x\}=P\{aX+b\le x\}=P\{X\le\frac{x-b}{a}\}=\varPhi(\frac{x-b}{a})\)

两边都求导,得

\[f_Y(x)=\varphi(\frac{x-b}{a})\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(\frac{x-b}{a}-\mu)^2}{2\sigma^2}}\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}a\sigma}e^{-\frac{(x-(b+a\mu))^2}{2a^2\sigma^2}} \]

再结合\(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\),两者对比,可得\(Y\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\).

\(a<0\)时,过程类似,主要在于不等号的转换。

标准化

\(Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\)时,\(Y\sim N(0,1)\)。其实就是一个标准化的过程。

结论:服从正态分布的随机变量经过线性变换后仍然是服从正态分布的。

定理1 \(X\)的密度函数为\(f_X(x)\)\(Y=kX+b(k\ne0)\),则\(f_Y(x)=\frac{1}{|k|}f_X(\frac{x-b}{k})\).

非线性
  • \(X\sim N(0,1),Y=X^2\),则\(Y\)服从自由度为1的卡方分布,记作\(Y\sim \chi^2(1)\).

  • \(Y=\ln X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\),则称随机变量\(X\)服从参数\(\mu,\sigma^2\)对数正态分布,记作\(\ln X\sim N(\mu,\sigma^2)\)

使用教材:
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社

posted @ 2023-01-07 19:14  feixianxing  阅读(429)  评论(0编辑  收藏  举报