[概率论与数理统计]笔记：1.4 条件概率

1.4 条件概率

条件概率

• 样本空间$\mathrm{\Omega }$
• 事件$A,B$
• $P(B)>0$

在事件$B$已经发生的前提条件下，事件$A$发生的概率称为A对B的条件概率：$P(A|B)$.

通常，$P(A)$为无条件概率，对应的样本空间为$\mathrm{\Omega }$。

而条件概率$P(A|B)$对应的样本空间为$B$，或者记为${\mathrm{\Omega }}_B$.

所以：

$$P(A|B)=\frac{n_{AB}}{n_B}=\frac{\frac{n_{AB}}{n}}{\frac{n_B}{n}}=\frac{P(AB)}{P(B)}$$

乘法公式

根据$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$可以推导出：

1. $P(AB)=P(A)P(B|A)$
2. $P(AB)=P(B)P(A|B)$

其中要求$P(A)>0,P(B)>0$.

乘法公式可以推广到任意有限个事件：

$$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|P_1)P(A_3|A_1{A}_2)\cdots P(A_n|A_1{A}_2\cdots A_{n-1})$$

可以理解为逐步画圈，缩小范围直到精准命中指定交集：（这里用$n=3$为例）

全概率公式

• $\{A_i\}$是$E$的完备事件组。
• $P(A_i)>0$。

则对于任意事件$B$，有：

$$P(B)=\sum _{i}P(A_i)P(B|A_i)$$

事实上，$\{A_i\}$不需要是$E$的完备事件集，只需要满足$\{A_i\}$的并集能包住$B$即可。

贝叶斯公式

定义

• $\{A_i\}$ 是完备事件组。
• $P(A_i)>0$.

则对于任意事件$B$，$P(B)>0$，有：

$$P(A_i|B)=\frac{P(A_{i}B)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum _{i}P(A_i)P(B|A_i)}$$

• 分子部分：乘法公式
• 分母部分：全概率公式

相关概念

• $P(A_i)$称为先验概率（在新信息到来之前）
• $P(A_i|B)$称为后验概率（在新信息到来之后）

贝叶斯公式的特点是由果推因，$A_i$是原因，$B$是结果。在已知$B$已经发生的情况下，推测“是$A_i$导致的”的可能性。

举例：

事件$B$是“头疼”，

事件$\{A_i\}=${

​ "劳累过度",

​ "普通感冒",

​ "感染新冠",

​ ......

}

解析：不管事件$B$是否发生，事件$A_i$都有各自发生的可能性，也就是先验概率$P(A_i)$。在事件$B$发生之后，后验概率$P(A_i|B)$表示“已经头疼了，是由事件$A_i$导致的概率是多少”。

注：在这个例子中：

• $P(A_i|B)$表示已经头疼了，是由事件$A_i$导致的可能性是多少。
• $P(B|A_i)$表示事件$A_i$已经发生了（比如已经感冒了），那么接下来会“头疼”的可能性是多少。

二者不能搞混。

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社