[概率论与数理统计]笔记：2.4 常用的连续型分布

2.4 常用的连续型分布

均匀分布

定义

如果随机变量$X$的密度函数为

$$f(x)=\{\begin{array}{rl}& \frac{1}{b-a},a\le x\le b,\\ & 0,else,\end{array}$$

则称$X$服从$[a,b]$上的均匀分布，记作$X\sim U[a,b]$.

性质

• ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx=1$

矩形面积为1，因此区间$[a,b]$上的常数必定为$\frac{1}{b-a}$.

• 分布函数：

$$F(x)=\{\begin{array}{rl}& 0,x<a,\\ & \frac{x-a}{b-a},a\le x\le b,\\ & 1,x>b,\end{array}$$

当$a\le x\le b$时，

$$\begin{array}{rl}F(x)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{a}f(t)dt+{\int }_a^{x}f(t)dt\\ & ={\int }_a^x\frac{1}{b-a}dt\\ & =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{x}1dt\\ & =\frac{x-a}{b-a}\end{array}$$

• 若$[c,d]$是$[a,b]$子区间，则$P\{c\le X\le d\}={\int }_c^d\frac{1}{b-a}dt=\frac{d-c}{b-a}$。即概率与区间长度成正比。

• 数学期望：$EX=\frac{a+b}{2}$

证明：

$$\begin{array}{rl}EX& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf(x)dx\\ & ={\int }_a^{b}x\frac{1}{b-a}dx\\ & =\frac{1}{b-a}[\frac{1}{2}{x}^2{]}_a^b\\ & =\frac{1}{b-a}\times \frac{b^2-a^2}{2}\\ & =\frac{a+b}{2}\end{array}$$

• 方差：$DX=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

简略地证明：

相关知识点：

1. $DX=E{X}^2-(EX{)}^2$
2. 随机变量函数的数学期望(连续型)：${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(x)f(x)dx$
3. $b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)$

$$E{X}^2={\int }_a^b{x}^2\frac{1}{b-a}dx=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$$

$$(EX{)}^2=(\frac{a+b}{2}{)}^2=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}$$

$$DX=E{X}^2-(EX{)}^2=\frac{(a-b{)}^2}{12}$$

联系

几何概型

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指数分布

定义

如果随机变量$X$的密度函数为

$$f(x)=\{\begin{array}{rl}& \lambda e^{-\lambda x},x\ge 0,\\ & 0,x<0,\end{array}$$

其中$\lambda >0$为参数，则称$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，记作$X\sim e(\lambda )$.

分布函数

$$F(x)=\{\begin{array}{rl}& 1-e^{-\lambda x},x\ge 0,\\ & 0,x<0,\end{array}$$

数学期望

$$EX=\frac{1}{\lambda }$$

方差

$$DX=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

性质

• 无记忆性：$P\{X>r+s|X>s\}=P\{X>r\}$

联系

• 指数分布与泊松分布之间的联系：

  如果用参数为$\lambda$的泊松分布描述单位时间事件发生的次数，那么一次事件发生的等待时间便服从参数为$\lambda$的指数分布。

• 指数分布与几何分布之间的联系：

  • 指数分布描述事件发生等待的时间（连续量）
  • 几何分布描述事件发生等待的次数（离散量）

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正态分布

定义

如果随机变量$X$的密度函数为

$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty },$$

其中$\mu ,\sigma$为常数，且$\sigma >0$，则称$X$服从参数为$\mu$和${\sigma }^2$的正态分布，记作$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$.

分布函数

由于密度函数的原函数没有解析表达式，因而其分布函数（记作$\Phi (x)$）不能表示为解析式。

$$\Phi (x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\phi (t)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$$

性质

• ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\phi (x)dx=1$.

证明：

前置知识点：根据欧拉-泊松积分，有${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ 👉泊松积分的两种计算方法

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\phi (x)dx& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-(\frac{x-\mu }{\sqrt{2}\sigma }{)}^2}d(x-\mu )\\ & =\frac{\sqrt{2}\sigma }{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-(\frac{x-\mu }{\sqrt{2}\sigma }{)}^2}d(\frac{x-\mu }{\sqrt{2}\sigma })\\ & =\frac{1}{\sqrt{\pi }}\sqrt{\pi }\\ & =1\end{array}$$

正态分布的密度函数的系数之所以这么复杂就是为了使其积分等于1.

• $EX=\mu$

• $DX={\sigma }^2$

• $\phi (x)$关于$x=\mu$对称，并在$x=\mu$处取得最大值$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$

理解：密度函数的$x$位于右上角指数部分的$(x-\mu {)}^2$，结合偶函数的性质，不难得出该函数图像关于$x-\mu$对称。

• $y=\phi (x)$以$x$轴为渐近线。
• $x=\mu \pm \sigma$为拐点。
• $\sigma$不变，$\mu$改变，图像左右平移。
• $\mu$不变，$\sigma$改变，图像对称轴固定：
  • $\sigma$变大，最高点下降，图像矮胖，变缓。
  • $\sigma$变小，最高点上升，图像高瘦，变陡。

标准正态分布

定义

当$\mu =0,{\sigma }^2=1$时，即$X\sim N(0,1)$，称$X$服从标准正态分布，其密度函数记作${\phi }_0(x)$，即

$${\phi }_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

分布函数：

$${\Phi }_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

通常计算概率的方法是：

1. 将一般正态分布变换为标准正态分布。
2. 查询标准正态分布表的概率值。

性质

• 密度函数图像关于$y$轴对称，是偶函数：${\phi }_0(x)={\phi }_0(-x)$。对于分布函数，有${\Phi }_0(-x)=1-{\Phi }_0(x)$.

一般正态分布与标准正态分布

• 设$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),Y=aX+b$，$a,b$为常数，且$a\ne 0$，则$Y\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$.

• 如果$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$.

这里的$Z$称为$X$的标准化。

• $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$的充要条件是存在一个随机变量$Z\sim N(0,1)$，使得$X=\sigma Z+\mu$.

• 设$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),\Phi (x),\phi (x)$分别为其分布函数与密度函数，${\Phi }_0(x),{\phi }_0(x)$是标准正态分布的分布函数和密度函数，则有

$$\begin{gathered} \Phi (x)={\Phi }_0(\frac{x-\mu }{\sigma }), \\ \phi (x)=\frac{1}{\sigma }{\phi }_0(\frac{x-\mu }{\sigma }). \end{gathered}$$

这里给出第二个式子的证明过程：

已知

$$\begin{gathered} \phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}, \\ {\phi }_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}. \end{gathered}$$

则

$$\phi (x)=\frac{1}{\sigma }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(\frac{x-\mu }{\sigma }{)}^2}{2}}=\frac{1}{\sigma }{\phi }_0(\frac{x-\mu }{\sigma })$$

证明完毕。

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社