[概率论与数理统计]笔记：2.4 常用的连续型分布

2.4 常用的连续型分布

均匀分布

定义

如果随机变量\(X\)的密度函数为

\[f(x)= \left\{ \begin{align*} &\frac{1}{b-a},\quad\quad a\le x\le b,\\ &0,\quad\quad\quad\quad else, \end{align*} \right. \]

则称\(X\)服从\([a,b]\)上的均匀分布，记作\(X\sim U[a,b]\).

性质

• \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_a^bf(x)dx=1\)

矩形面积为1，因此区间\([a,b]\)上的常数必定为\(\frac{1}{b-a}\).

• 分布函数：

\[F(x)= \left\{ \begin{align*} & 0, \quad\quad\quad x<a, \\ & \frac{x-a}{b-a},\quad a\le x\le b,\\ & 1, \quad\quad\quad x>b, \end{align*} \right. \]

当\(a\le x\le b\)时，

\[\begin{align*} F(x) &= \int_{-\infty}^xf(t)dt\\ &= \int_{-\infty}^af(t)dt+\int_a^xf(t)dt\\ &= \int_a^x\frac{1}{b-a}dt\\ &= \frac{1}{b-a}\int_a^x1dt\\ &= \frac{x-a}{b-a} \end{align*} \]

• 若\([c,d]\)是\([a,b]\)子区间，则\(P\{c\le X\le d\}=\int_c^d\frac{1}{b-a}dt=\frac{d-c}{b-a}\)。即概率与区间长度成正比。

• 数学期望：\(EX=\frac{a+b}{2}\)

证明：

\[\begin{align*} EX &= \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\\ &= \int_a^bx\frac{1}{b-a}dx\\ &= \frac{1}{b-a}[\frac{1}{2}x^2]_a^b\\ &= \frac{1}{b-a}\times\frac{b^2-a^2}{2}\\ &= \frac{a+b}{2} \end{align*} \]

• 方差：\(DX=\frac{(b-a)^2}{12}\)

简略地证明：

相关知识点：

1. \(DX=EX^2-(EX)^2\)
2. 随机变量函数的数学期望(连续型)：\(\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx\)
3. \(b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)\)

\[EX^2=\int_a^bx^2\frac{1}{b-a}dx=\frac{a^2+ab+b^2}{3} \]

\[(EX)^2=(\frac{a+b}{2})^2=\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \]

\[DX=EX^2-(EX)^2=\frac{(a-b)^2}{12} \]

联系

几何概型

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指数分布

定义

如果随机变量\(X\)的密度函数为

\[f(x)= \left\{ \begin{align*} &\lambda e^{-\lambda x},\quad\quad x\ge 0,\\ &0,\quad\quad\quad\quad x<0, \end{align*} \right. \]

其中\(\lambda>0\)为参数，则称\(X\)服从参数为\(\lambda\)的指数分布，记作\(X\sim e(\lambda)\).

分布函数

\[F(x)= \left\{ \begin{align*} &1-e^{-\lambda x},\quad\quad x\ge 0,\\ &0,\quad\quad\quad\quad x<0, \end{align*} \right. \]

数学期望

\[EX=\frac{1}{\lambda} \]

方差

\[DX=\frac{1}{\lambda^2} \]

性质

• 无记忆性：\(P\{X>r+s|X>s\}=P\{X>r\}\)

联系

• 指数分布与泊松分布之间的联系：

  如果用参数为\(\lambda\)的泊松分布描述单位时间事件发生的次数，那么一次事件发生的等待时间便服从参数为\(\lambda\)的指数分布。

• 指数分布与几何分布之间的联系：

  • 指数分布描述事件发生等待的时间（连续量）
  • 几何分布描述事件发生等待的次数（离散量）

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正态分布

定义

如果随机变量\(X\)的密度函数为

\[\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad-\infty<x<+\infty, \]

其中\(\mu,\sigma\)为常数，且\(\sigma>0\)，则称\(X\)服从参数为\(\mu\)和\(\sigma^2\)的正态分布，记作\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\).

分布函数

由于密度函数的原函数没有解析表达式，因而其分布函数（记作\(\varPhi(x)\)）不能表示为解析式。

\[\varPhi(x)=\int_{-\infty}^x\varphi(t)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt \]

性质

• \(\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)dx=1\).

证明：

前置知识点：根据欧拉-泊松积分，有\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\) 👉泊松积分的两种计算方法

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)dx &= \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma})^2}d(x-\mu) \\ &= \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma})^2}d(\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}) \\ &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\pi} \\ &= 1 \end{align*} \]

正态分布的密度函数的系数之所以这么复杂就是为了使其积分等于1.

• \(EX=\mu\)

• \(DX=\sigma^2\)

• \(\varphi(x)\)关于\(x=\mu\)对称，并在\(x=\mu\)处取得最大值\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\)

理解：密度函数的\(x\)位于右上角指数部分的\((x-\mu)^2\)，结合偶函数的性质，不难得出该函数图像关于\(x-\mu\)对称。

• \(y=\varphi(x)\)以\(x\)轴为渐近线。
• \(x=\mu\pm\sigma\)为拐点。
• \(\sigma\)不变，\(\mu\)改变，图像左右平移。
• \(\mu\)不变，\(\sigma\)改变，图像对称轴固定：
  • \(\sigma\)变大，最高点下降，图像矮胖，变缓。
  • \(\sigma\)变小，最高点上升，图像高瘦，变陡。

标准正态分布

定义

当\(\mu=0,\sigma^2=1\)时，即\(X\sim N(0,1)\)，称\(X\)服从标准正态分布，其密度函数记作\(\varphi_0(x)\)，即

\[\varphi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \]

分布函数：

\[\varPhi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt \]

通常计算概率的方法是：

1. 将一般正态分布变换为标准正态分布。
2. 查询标准正态分布表的概率值。

性质

• 密度函数图像关于\(y\)轴对称，是偶函数：\(\varphi_0(x)=\varphi_0(-x)\)。对于分布函数，有\(\varPhi_0(-x)=1-\varPhi_0(x)\).

一般正态分布与标准正态分布

• 设\(X\sim N(\mu,\sigma^2),Y=aX+b\)，\(a,b\)为常数，且\(a\ne 0\)，则\(Y\sim N(a\mu+b, a^2\sigma^2)\).

• 如果\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\).

这里的\(Z\)称为\(X\)的标准化。

• \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)的充要条件是存在一个随机变量\(Z\sim N(0,1)\)，使得\(X=\sigma Z+\mu\).

• 设\(X\sim N(\mu,\sigma^2),\varPhi(x),\varphi(x)\)分别为其分布函数与密度函数，\(\varPhi_0(x),\varphi_0(x)\)是标准正态分布的分布函数和密度函数，则有

\[\varPhi(x)=\varPhi_0(\frac{x-\mu}{\sigma}),\\ \varphi(x)=\frac{1}{\sigma}\varphi_0(\frac{x-\mu}{\sigma}). \]

这里给出第二个式子的证明过程：

已知

\[\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\\ \varphi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}. \]

则

\[\varphi(x)=\frac{1}{\sigma}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}{2}}=\frac{1}{\sigma}\varphi_0(\frac{x-\mu}{\sigma}) \]

证明完毕。

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社