如何用随机方法求解组合优化问题（三）

局部搜索应用：百万皇后问题

皇后问题

皇后问题：

在一个 $n\times n$ 的棋盘上，每行每列有且只有一个皇后棋子，每对角线至多一个皇后棋子。

如果使用回溯法，计算10皇后、20皇后问题还是可行的。

但是当皇后数增加到一百万个时，又该如何求解呢？

局部搜索算法用于求解组合优化问题，而皇后问题是组合问题，和优化没有关系，我们可以先将皇后问题转化为最优化问题。

• 指标函数：棋盘上皇后的冲突数。

• 表示：

  $S=\{S_i\}$表示一个可能解，其中 $S_i$ 表示在第 $i$ 行，第 $S_i$ 列有一个皇后。

  如四皇后问题的一个解：$S=(2,4,1,3)$

  

皇后搜索算法

1. 随机地将 $n$ 个皇后分布在棋盘上，使得棋盘的每行、每列只有一个皇后；
2. 计算皇后间的冲突数 $c$ ；
3. 如果冲突数 $c$ 等于0，则转 (7)
4. 任选两个皇后交换他们在序列中的位置；
5. 如果交换后的冲突数 $c$ 减少，则接受这次交换，更新冲突数 $c$ ，转(3)；
6. 如果陷入了局部极小，即交换了所有的皇后后，冲突数仍然不能下降，则转1；
7. 输出结果；
8. 结束。

可以使用局部搜索算法解决大规模皇后问题（并找到全局最优解）的关键在于：我们知道冲突数这个指标有最小值，并且最小值为0，从而我们可以判断某一时刻是否陷入了局部极小，或者是否已到达最优解。

而对于另一个著名的组合问题，旅行商问题来说，我们也可以用局部搜索算法来求解，但是我们不知道指标（路径长度）的最小值是多少，因此我们只能求得局部最优解，无法判断求得的局部最优解是否全局最优。

大多数组合问题都和旅行商问题一样，使用局部搜索算法往往是无法判断全局最优的。

局部搜索算法存在的问题

局部最优问题

最明显的问题是可能会得到局部最优解，如上图的 $B$ 和 $C$，而得不到 $A$。而这些最终结果与初始点有关，因此需要多次随机地设置初始点，然后在得到的多个解中，找出相对较优的解。

解决思路

• 按概率接受解（在领域中寻找解的时候，并不是只接受最优解，而是为每个解计算概率，然后随机走下一步）

• 从邻域中随机选择一个解，如果该解的指标函数好于当前已知的最好解，则以大概率接受该解，否则就以小概率接受该解。

求最大值时

概率的计算方法根据不同算法有不同实现，这里只是一个简单的例子。

$$P_{max}(x_i)=\frac{f(x_i)}{\sum _{x_j\in N(x_b)}f(x_j)}$$

即 指标 除以 邻域内所有指标之和。

同理，求最小值时：

$$P_{min}(x_i)=1-P_{max}(x_i)$$

如何按概率接受一个解？

• 设 $x_i$ 的接受概率为 $P(x_i)$，当 $random(0,1)<P(x_i)$ 时接受 $x_i$

步长问题

如果步长大，而“山峰”尖，则可能最终像上图中一样，结果落在了半山腰。

解决思路

改变步长

• 如果步长太小，会导致计算效率降低。
• 如果步长太大，可能导致错过最优解。

一种解决方法是，随着迭代次数的增加，逐渐减小步长。

不同的算法有不同的改变步长的做法。

大多数情况下还是需要多次调整初始步长，然后执行程序，多次调整。

起始点问题

起始点不同，最终的结果可能不同。可能得到全局最大值，也可能得到局部最大值。

解决思路

随机产生多个起始点，从多次运行结果中选择一个最好的结果。

综合求解

面对局部搜索算法存在的问题，应综合求解。

• 按概率接受解；
• 改变步长；
• 多次运行方法。

有一种特殊的局部搜索算法叫模拟退火算法，就是基于“按概率接受解”和“改变步长”这两点的。