如何用随机方法求解组合优化问题（二）

局部搜索算法

组合问题由于其可能的解的数量十分庞大，无法用穷举法求解最优解。

局部搜索算法旨在减少复杂度的情况下寻找最优解，尽管其不一定能够找到全局最优解，但是往往可以找到满意的局部最优解。

爬山法

类似于盲人爬山，无法看到全局的景象，但是有拐杖可以探测临近的区域。

每一次使用拐杖在周围扫一圈，把这一圈上每一个点的高度与自己脚底的高度比较，找到距离脚底最高的那个点所在的方向前进。

重复以上过程。直到扫描周围的一圈，发现都低于自己脚底的高度。

此时位于局部最高点。

核心思想

邻域内找一个最优的结果，接受它，再以此为新的起点，重复这个过程。

领域的概念

上文中对于领域的现实类比案例是容易理解的， 但是在组合优化问题中，领域是指什么呢？

对解 $S$ 经过一些简单变换后，得到的另一个解称作解 $S$ 的邻居，解 $S$ 所有邻居的集合称作解 $S$ 的邻域。

邻域举例

• 皇后问题：每行每列有且只有一个皇后，每对角线至多一个皇后。

  $S=\{S_i\}$ 表示一个可能解，其中 $S_i$ 表示在第 $i$ 行，第 $S_i$ 列有一个皇后。

  如四皇后问题的一个解： $S=(2,4,1,3)$

  

  任意交换两个皇后的位置获得一个解的邻居，则$(2,4,1,3)$的所有邻居，也就是邻域为：

  $\{(4,2,1,3),(1,4,2,3),(3,4,1,2),(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,4,3,1)\}$

• 旅行商问题

  • 常规交换法

    

    序列 $S$ 是对于 $n$ 个城市的访问顺序，将其中两个城市的访问顺序进行调换，则得到一个邻居 $S^{\prime }$.

    常规交换法的路线改变示例图：

    

  • 逆序交换法

    

    选取两个城市 $x_i$ 和 $x_j$ ，将这两个城市之间的序列进行逆序操作。( $x_i$ 和 $x_j$ 是不变的 )

    逆序交换法的路线改变示例图：

    

局部搜索算法描述

1. 随机的选择一个初始的可能解 $x_0\in D$ ，$x_b=x_0$ ，$P=N(x_b)$ ；
2. 如果 $P$ 不为空，则
3. Begin
4. ​ 选择 $P$ 的一个子集 $P^{\prime }$ ，$x_n$ 为 $P^{\prime }$ 中的最优解
5. ​ 如果 $f(x_n)<f(x_b)$，则 $x_b=x_n$，$P=N(x_b)$，转2；
6. ​ 否则 $P=P-P^{\prime }$，转2.
7. End
8. 输出计算结果
9. 结束

其中：

• $N(x)$函数用于获取组合 $x$ 的邻域。

• 这里的算法比上文的爬山法更具一般性，没有直接在领域中寻找局部最优解，而是在邻域的子集中寻找最优解。

• $f(x)$用于计算并比较组合 $x$ 的优良性，从而最终可以选出局部最优解。在旅行商问题中可以是路径的长度，在0-1背包中可以是背包中物品的价格。