[概率论与数理统计]笔记：1.3 古典概型与几何概型
1.3 古典概型与几何概型
古典概型
特点
- 基本事件有限
- 等可能性
计算
\[P(A)=\frac{A中元素个数}{\Omega中元素个数}=\frac{使A发生的基本事件数}{\Omega中样本点总数}
\]
计算古典概型的概率的重点在于计算基本事件数，相关知识点是排列组合。
- 加法原理：多个方案
- 乘法原理：分步骤
排列
不重复排列
从\(n\)个不同元素中有顺序的取出\(m\)个（取出某元素后不能再取该元素）：
\[P_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}
\]
排列的字母可以用 \(A\) 也可以用 \(P\)
重复排列
从\(n\)个不同元素中有顺序的取出\(m\)个（取出某元素后可以再取该元素，比如箱子取球，取完又放回去）：
\[n\times n\times \cdots\times n=n^m
\]
组合
从\(n\)个不同元素中无顺序的取出\(m\)个：
\[C_n^m=\frac{P_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}
\]
重要公式
- \(C_n^m=C_n^{n-m}\)
- \(C_n^0=C_n^n=1\)
几何概型
特点
- 基本事件无限
- 等可能性
几何概型的等可能性表现为：在几何区域中，测度相等的事件发生的概率相等。需要注意的是测度不能为0。
计算
\[P(A)=\frac{\mu(G)}{\mu(\Omega)}
\]
几何概型的计算过程重点在于计算测度。
相关知识点：常用面积公式，体积公式，微积分等。
使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社
