[概率论与数理统计]笔记：1.2 随机事件的概率
1.2 随机事件的概率
定义
简单定义
概率是随机事件发生的可能性大小的度量（数值）。
频率可以作为概率的估计，但频率的稳定值不能作为概率的定义。
一个事件的概率是由事件本身特征决定的客观存在。
频率的稳定值是概率的外在的必然表现。
公理化定义
设\(\Omega\)是一个样本空间，定义在\(\Omega\)的事件域\(\mathscr{F}\)上的一个实值函数\(P(\cdot)\)称为\(\Omega\)上的一个概率测度，如果它满足下列三条公理：
公理1 \(P(\Omega)=1\);
公理2 对任意事件\(A\)，有\(P(A)\ge 0\);
公理3 对任意可数个两两互不相容的事件\(A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots,\)有
其中，对任意给定的具体事件\(A\)，函数值\(P(A)\)称为事件\(A\)的概率。
一个具有概率测度\(P(\cdot)\)的样本空间\(\Omega\)称为一个概率空间，记作\((\Omega,\mathscr{F},P)\)。
性质
-
\(P(\varnothing)=0\)
-
\(P(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i)=\sum\limits_{i=1}^n P(A_i)\)
-
\(P(\overline{A}) = 1-P(A)\)
-
\(P(A-B) = P(A)-P(AB)\)
-
\(0\le P(A)\le1\)
-
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)
注:
\(P(A)=0\)不代表事件\(A\)不能发生。
举例：几何概型中，无穷线上取一点，概率为\(\frac{1}{\infty}=0\)，却是可能发生的。
常用记法与转换
-
\(B-A=B\overline{A}\)
-
\(B-A=B-AB\)
-
\(B=AB+\overline{A}B\)
例题
已知\(P(A)=0.4,P(B)=0.25,P(A-B)=0.25\)，求\(P(AB),P(A\cup B),P(B-A),P(\overline{A}\overline{B})\).
解:
根据性质4，\(P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.4-P(AB)=0.25\)
所以\(P(AB)=0.4-0.25=0.15\)
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.25-0.15=0.5\)
\(P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.25-0.15=0.1\)
\(P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A+B})\)（德摩根律）
\(\quad\quad\quad\ =1-P(A+B)=1-P(A\cup B)=1-0.5=0.5\)
使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社
