老鼠逃难

一只猫抓了101只老鼠，猫对老鼠说：“你们排成一行按顺序报数，报到单数的我就把你吃掉，然后剩下的再重新报数，单数的同样被吃掉，如此下去，剩下的最后那只老鼠，我就放它一条生路。”

 

如果你是那只聪明的老鼠，你会站哪个位置，才不至于被吃掉？

 

 

思维拓展：

 

1. 如果总共1500只老鼠，站什么位置才不被吃掉？

 

2. 如果猫说：“报到双数的我就把它吃掉，如此循环，最后一只放走。”那又应该站在什么位置才安全？（还不简单）

 

 

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错误分析: 由于老鼠每次报数报到单号（奇数）的就被猫吃掉，所以聪明的老鼠会站在偶数位，并且靠后，所以站第100位吧。可是，老鼠第一轮被吃后，第100位变成第50位，第二轮被吃后，变作第25位，奇数，在第三轮被吃了，所以站在第100位是不能逃出生天的。

正确的分析：由于老鼠每次报数报道单号（奇数）的就被猫吃掉，所以聪明的老鼠会站在偶数位，第一轮被吃后，还是在偶数位才不被吃，第二轮被吃后，还是在偶数位才不被吃，……第 n 轮被吃后，还是在偶数位才不被吃。所以用 M 表示聪明老鼠所站的位置，M 能被2不断地整除，它的形式为 k*2^n (k乘于2的n次方)。我们又知道，在最后一轮，聪明的老鼠还是在偶数位，即第2位，猫吃完这轮，只剩下了这只老鼠在第一位，所以 M 不断被2除，最后等于1，固 k=1,即是 M=2^n, 其中 n 尽可能大，在101里面，最大的 2^n 是当 n 取6的时候，此时 M 为64，所以那只聪明的老鼠站在第64位，就可以免幸于难而逃出生天。

思维拓展分析：

1. 在1500里，当 n 取10的时候，M=1024。

2. 站在第一位。

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