MIT公开课：算法导论 笔记（一）

课程链接：http://open.163.com/special/opencourse/algorithms.html

第一课：算法分析基础

1.介绍插入排序与归并排序，计算并比较最坏运行时间

2.算法分析重点与渐近分析方法

以下为个人笔记，根据字幕整理

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第一课 算法分析
总结 解决问题的方法和方式
算法：关于计算机程序性能和资源利用的研究

算法：性能、速度

在程序设计方面，什么比性能更重要呢？
　　正确性，可维护，健壮性
　　模块化，安全，用户友好

为什么关注性能?
1.直接决定方法可行不可行
　　算法能将不可行变为可行
2.算法是一种描述程序行为的语言
　　思考程序的最简洁方式

性能是支付其他东西的“货币”
安全 用户友好 健壮性
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           性能
衡量代价的一般标准

为什么关注速度？
追求速度是人的天性

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排序算法

排序问题的一般描述
输入：序列 a1, a2, a3, ..., an
按需求重新排序
输出：序列 b1, b2, b3, ..., bn

1.插入排序

伪代码描述：
理解算法要描述的意思，简洁
使用缩进表示嵌套

按照升序排列

for j<- 2 to n
　　do key<- A[j] //从数组A中取值
　　i<- j-1
　　while i>0 and A[i]> key //前向查找较大值
　　　　do A[i+1]<- A[i]
　　　　i<- i-1 //i递减至0
　　A[i+1]<- key

实例 8 2 4 9 3 6
一次 2 8 4 9 3 6
二次 2 4 8 9 3 6
三次 2 4 8 9 3 6
四次 2 3 4 8 9 6
五次 2 3 4 6 8 9

最坏情况分析
最大占首位，最小占末位

操作数计数：内存引用计数
T(n) = sum _{2->n}( theta(j) )
算术级数 theta(n^2)

小规模n 快速
大规模n 慢
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程序分析：
1.运行时间
输入是否有序
输入规模
运行时间上界：对用户的承诺

最关注：
最坏情况分析
T(n) 输入规模为n时的运行时间上界
平均情况分析
T(n) 输入规模为n时，运行时间的期望值

算法的大局观
1.算法涉及诸多领域
2.解决复杂问题

渐近分析
1.忽略依赖于机器的常量
2.关注运行时间的增长，而不是运行时间

相对速度 绝对速度

渐近符号
theta符号函数
theta(n) = 3n^2 + 9n^2 + 5n
去掉常数项、低阶项

数学的严谨，工程的直觉
在两者间找到一种平衡，较好的算法

低速算法
当输入规模在合理范围时，运行速度较快

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归并排序
if n==1 done
else recursively sort
　　A[1 ... celi(n/2) ] //ceil向上取整
　　A[ celi(n/2)+1 ... n ]
last merge 2 sub sorted list

归并子程序

两个子排序结果：
list[1] 20 13 7 2
list[1] 12 11 9 1

遍历与归并时间
T(n)

递归式
n=1 T(n)=theta(1)
n>1 T(n)=2T(n/2)+theta(n)
-----------------------
如何求解递归式？
-----------------------
递归树
T(n)
T(n/2) T(n/2)
T(n/4) ... T(n/4)
... ...
T(1)  ... ... T(1)

计算量
C(n)
C(n/2) C(n/2)
C(n/4) C(n/4)
... ...
C(1)  ... ... C(1)

高度 log(n)
叶节点数目 n
计算量

cn*log(n) + theta(n)
=theta(n*log(n))

as long as you are rigorous and precise,
you can be as sloppy as you want.
只要你严格而精确，可以略去任意细节