100盏灯泡的开关问题

有100盏灯泡，第一轮点亮所有电灯，第二轮每两盏灯熄灭一盏，即熄灭第2盏，第4盏，以此类推，第三轮改变编号为3的倍数的电灯，第3盏，第6盏，如果原来那盏灯是亮的，就熄灭它，如果原来是灭的，就点亮它，以此类推，直到第100轮。问第100结束后，还有多少盏灯泡是亮的？

 

解答：

由题意最如果最后某一盏灯是亮着的，那么它一定是被切换了奇数次(第0次的时候全部都关着）。

首先来看一下6这盏灯，它被切换的次数是第1次（轮），第2次，第3次和第6次。

可以看出如果某一轮6被切换了，那么该轮数一定可以整数6，即是6的约数，由于约数是成对出现的，所以6被关掉的次数是偶数次。

但是是对于像4，16这样的完全平方数，由于他们都有一个约数k 使得 K的平方等于该完全平方数，所以其被关掉的次数应该为奇数，因为K只能被算一次。

 

所以该问题的答案是只有1-100的完全平方数，才是亮着的。

即1，4，3，16，25，36，49，64，81，100这10盏灯亮着。

 

*备注：

完全平方数：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数