[笔试题]黑板上写下50个数字，选两个黑板上数字a和b，在黑板写|b-a|，剩下的数字?

在黑板上写下50个数字：1至50。在接下来的49轮操作中，每次做如下操作：选取两个黑板上的数字a和b，擦去，在黑板上写|b-a|。请问最后一次动作之后剩下的数字可能是什么？为什么？（不用写代码，不写原因不得分）（阿里巴巴笔试题）

将题目通用化，即变成给定1..n这n个数字，操作到最后剩下的数字可能是什么。则原题即是n=50的特例。

 

首先我们有结论1：假设操作1..n，最后剩下的可能数字的个数为k，则操作1..(n+1)时，剩下数字的个数将大于等于k。这个结论简单的用反证法证明下——假设存在n，使得操作1..n时，剩下的数字个数k，操作1..(n+1)剩下可能数字的个数为p，且k>p。则令1..n时的k个数为a[1],a[2]…a[k]，显然它们互不相等。则1..n+1时，如果最后使用数字n+1与a[1]…a[k]做操作，得到|a[1]-(n+1)| … |a[k]-(n+1)|，此时k=p，不满足假设，则假设不成立，原命题成立。

 

然后再来个结论2：操作1..n所有可能剩下的数字必定都小于等于n。这个显然成立，因为对任意非负数a,b，|b-a|<=max(a,b)必定成立。

 

开始解题。

 

对于操作1..n这n个数，若只观察它们的奇偶性，则会发现，当选取任意两个数a,b做操作时，若两个均为偶数，则结果也为偶；两个奇数，结果为偶；一奇一偶，结果为奇。而这点跟异或完全相同，即令0代表偶数，1代表奇数，则0^0=1^1=0，0^1=1^0=1。因此，当操作1..n时，其剩下数字的奇偶性就等于1^0^1^0…^1(n为奇)/0(n为偶)，是个确定值，即剩下的数必定都为奇数或都为偶数（异或与顺序无关）。进一步发现，当1^0^1^0…式子中1的个数为奇数时，结果为1，即剩下的数必定都为奇数；1的个数为偶，结果为0，剩下的数字必定都为偶数。

 

因此我们有如下假设的结论：对于1..n，当┌n/2┐为奇数（┌n┐表示不小于n的整数）时，剩下的数字为1,3,5… 2i+1（其中2*i+1为小于等于n的最大奇数）；当┌n/2┐为偶数时，剩下的数字为0,2,4…2*i（2*i为小于等于n的最大偶数）。

 

下面用数学归纳法证明该假设。

1).当n=3时，可能剩下的数字为0,2，假设成立；n=4时，剩下的数字为0,2,4，假设成立；n=5时，为1,3,5，假设成立。

2).假设当n=k时，假设成立。即1..k时，若┌k/2┐为奇，则为1,3,5…2*i+1；┌n/2┐为偶，则为0,2,4…2*i。则现在需证明n=k+1时，假设仍成立。

3).当n=k+1时，若此时┌k/2┐为奇时，则再分为两种情况：k为奇数，或k为偶数。当k为奇数时，1^0^1…^1=1，再异或偶数k+1，1^0=1，则此时操作1…k+1剩下的数字仍然均为奇数，再根据结论1和结论2可知，剩下数字的个数应大于等于n=k，且最大奇数不能大于偶数k+1，则唯一的可能就是1..k+1剩下的数字与1..k剩下的数字相同，此情况符合假设。当k为偶数时，1^0^…^0=1，再异或奇数k+1，1^1=0，则此时操作1..k+1剩下的数字均为偶数，但结论1,2要求其个数应该大于等于n=k时的个数，且最大数不能大于k+1，则唯一的可能就是0,2…k，此情况仍符合假设。最后┌k/2┐为偶的情况，也可根据该奇偶性和结论1,2易证得该假设成立。故n=k+1时，假设仍然成立。

4).最后回到题目上来，令n=50，则根据结论可知，可能剩下的数字为1,3,5…49。